Problemas

Problema 1: Examen de 2026 de Andalucía

Álgebra

Dado el determinante $𝐷 𝑛$ de una matriz tridiagonal cuadrada de orden $𝑛$ , halle $𝑃 𝑛 = ∣ 𝐷 𝑛 𝐷 𝑛 - 1 𝐷 𝑛 + 1 𝐷 𝑛 ∣,$ donde $𝐷 𝑛 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑥 100 \dots 0 1 𝑥 10 \dots 0 01 𝑥 1 \dots 0 001 𝑥 \dots 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 00001 𝑥 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .$
Calcule $𝐷 𝑛$ para $𝑥 = 2$ .

Problema 3: Examen de 2025 de Andalucía

Sea una circunferencia de centro $𝑂$ y radio $𝑅$ . Desde un punto $𝐴$ de la circunferencia se considera el arco menor $𝑂 𝑀$ , donde $𝑀$ es otro punto de la circunferencia. Sea $𝐵$ el punto diametralmente opuesto a $𝐴$ . Determinar, en función de $𝑅$ , el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo mixtilíneo $𝑂 𝑀 𝐵$ .
Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una elipse de semiejes $𝑎$ y $𝑏$ .
Sean $𝑎, 𝑏 \in ℝ$ , $𝑛 \in ℕ$ ( $𝑛 > 2$ ). Discutir en función de los valores de $𝑎$ y $𝑏$ el siguiente sistema: $⎧ { { { { {⎨ { { { { {⎩ 𝑎 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + \dots + 𝑥 𝑛 - 1 + 𝑥 𝑛 = 1, 𝑥 1 + 𝑎 𝑥 2 + 𝑥 3 + \dots + 𝑥 𝑛 - 1 + 𝑥 𝑛 = 𝑏, 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑎 𝑥 3 + \dots + 𝑥 𝑛 - 1 + 𝑥 𝑛 = 𝑏 2, ⋮ 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + \dots + 𝑎 𝑥 𝑛 - 1 + 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 - 2, 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + \dots + 𝑥 𝑛 - 1 + 𝑎 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛 - 1 .$

Problema 4: Examen de 2025 de Andalucía

En la ecuación $𝑥 2 + 𝐴 𝑥 + 𝐵 = 0$ , $𝐴$ y $𝐵$ son números reales elegidos al azar en los intervalos $[- 𝑎, 𝑎]$ y $[- 𝑏, 𝑏]$ respectivamente, siendo $𝑎$ y $𝑏$ números reales. Calcular la probabilidad de que tenga soluciones reales.
Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$
1. Calcular $𝐴 49$ y $𝐴 𝑛$ .
2. Sin hacer uso de la matriz inversa, hallar $𝑋$ en la ecuación $𝐴 2 𝑋 + 𝐼 = 𝐴$ , siendo $𝐼$ la matriz identidad.
Determinar todos los números de tres cifras en base 7, formados por cifras distintas entre sí y mayores que cero, que al ser convertidos a base 11 están representados por esas mismas tres cifras, aunque no necesariamente en el mismo orden.

Resolución

Como $A \in [-a, a]$ y $B \in [-b, b]$ , el área de la región factible es: $S_T = 2a \cdot 2b = 4ab \; u^2.$ La ecuación $x^2 + Ax + B = 0$ tiene solución si y solo si su discriminante es mayor o igual que cero, esto es: $A^2 - 4B \geq 0 \Leftrightarrow 4B \leq A^2 \Leftrightarrow B \leq \frac{A^2}{4}.$ Consideramos dos casos.
- Supongamos que $𝑎 2 4 \leq 𝑏$ . Representamos la región factible. El área de esta región viene dada por: $𝑆 𝐹 = 2 𝑎 𝑏 + 2 \int 𝑎 0 𝐴 2 4 𝑑 𝐴 = 2 𝑎 𝑏 + 2 [112 𝐴 3] 𝑎 0 = 2 𝑎 𝑏 + 16 𝑎 3 𝑢 2 .$ Por tanto, la probabilidad de que la ecuación tenga soluciones reales es: $𝑝 = 𝑆 𝐹 𝑆 𝑇 = 2 𝑎 𝑏 + 16 𝑎 3 4 𝑎 𝑏 = 12 + 𝑎 2 24 𝑏 .$
- Supongamos que $𝑎 2 4 > 𝑏$ . Los puntso de corte de $𝐵 = 𝐴 2 4$ y la recta $𝐵 = 𝑏$ vienen dados por: $𝐴 2 4 = 𝑏 \Leftrightarrow 𝐴 2 = 4 𝑏 𝑏 > 0 \Leftrightarrow 𝐴 = \pm 2 \sqrt 𝑏 .$ Representamos la región factible. El área de esta región viene dada por: $𝑆 𝐹 = 2 𝑎 𝑏 + 2 \int 2 \sqrt 𝑏 0 𝐴 2 4 𝑑 𝐴 + 2 𝑏 (𝑎 - 2 \sqrt 𝑏) = 2 𝑎 𝑏 + 2 [112 𝐴 3] 2 \sqrt 𝑏 0 + 2 𝑎 𝑏 - 4 𝑏 \sqrt 𝑏 = = 4 𝑎 𝑏 - 4 𝑏 \sqrt 𝑏 + 43 𝑏 \sqrt 𝑏 = 4 𝑎 𝑏 - 83 𝑏 \sqrt 𝑏 𝑢 2 .$ Por tanto, la probabilidad de que la ecuación tenga soluciones reales es: $𝑝 = 𝑆 𝐹 𝑆 𝑇 = 4 𝑎 𝑏 - 83 𝑏 \sqrt 𝑏 4 𝑎 𝑏 = 1 - 2 \sqrt 𝑏 3 𝑎 .$
1. Hallamos las primeras potencias de la matriz $A$ . $\begin{align} A^2 & = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I. \end{align}$ Así que: $A^{49} = A^{16 \cdot 3 + 1} = (A^3)^{16} \cdot A = I^{16} \cdot A = A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$ En general, dado $n \in \mathbb{N}$ , se tiene que:
  - Si existe $𝑘 \in ℕ$ tal que $𝑛 = 3 𝑘$ , entonces: $𝐴 𝑛 = 𝐴 3 𝑘 = (𝐴 3) 𝑘 = 𝐼 𝑘 = 𝐼 .$
  - Si existe $𝑘 \in ℕ$ tal que $𝑛 = 3 𝑘 + 1$ , entonces: $𝐴 𝑛 = 𝐴 3 𝑘 + 1 = (𝐴 3) 𝑘 \cdot 𝐴 = 𝐼 𝑘 \cdot 𝐴 = 𝐴 .$
  - Si existe $𝑘 \in ℕ$ tal que $𝑛 = 3 𝑘 + 2$ , entonces: $𝐴 𝑛 = 𝐴 3 𝑘 + 2 = (𝐴 3) 𝑘 \cdot 𝐴 2 = 𝐼 𝑘 \cdot 𝐴 2 = 𝐴 2 .$
2. Para resolver la ecuación matricial, multiplicamos por $𝐴$ por la izquierda. De esta forma, $𝐴 2 𝑋 + 𝐼 = 𝐴 \Leftrightarrow 𝐴 3 𝑋 + 𝐴 = 𝐴 2 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 2 - 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 02 11 - 1 - 1 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 2 - 2 121 0 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 024 0 - 1 - 2 - 1 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Sea

𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑐 (7)

, con

𝑎, 𝑏, 𝑐 \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}

y distintos. Por el teorema fundamental de los sistemas de numeración, se tiene que:

𝑛 = 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 .

Queremos hallar todos los números

𝑛

que se escriben en base 11 con las cifras

𝑎

𝑏

𝑐

. Como

𝑎

𝑏

𝑐

son distintos, los dígitos se pueden ordenar de

3! = 6

formas distintas. Estudiamos cada caso.

Caso 1: supongamos que $𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑐 (11)$ . Entonces: $𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑎 𝑏 𝑐 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑎 + 11 𝑏 + 𝑐 \Leftrightarrow 18 𝑎 + 𝑏 = 0 .$ Como $𝑎$ y $𝑏$ son mayores que cero, este caso no es posible.
Caso 2: supongamos que $𝑛 = 𝑎 𝑐 𝑏 (11)$ . Entonces: $𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑎 𝑐 𝑏 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑎 + 11 𝑐 + 𝑏 \Leftrightarrow 72 𝑎 + 10 𝑐 = 6 𝑏 \Leftrightarrow 36 𝑎 + 5 𝑐 = 3 𝑏 .$ Observamos que: $3 𝑏 = 36 𝑎 + 5 𝑐 \geq 36 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 46 \Rightarrow 𝑏 \geq 463 \geq 16 .$ Como $𝑏 \leq 6$ , este caso no es posible.
Caso 3: supongamos que $n = bac_{(11)}$ . Entonces: $abc_{(7)} = bac_{(11)} \Leftrightarrow 49a + 7b + c = 121b + 11a + c \Leftrightarrow 114b = 38a \Leftrightarrow 3b = a.$ Las únicas posibilidades son:
- Si $𝑏 = 1$ , entonces $𝑎 = 3$ y $𝑐 \in {2, 4, 5, 6}$ . Se obtienen los siguientes números: $312 (7), 314 (7), 315 (7), 316 (7) .$
- Si $𝑏 = 2$ , entonces $𝑎 = 6$ y $𝑐 \in {1, 3, 4, 5}$ . Se obtienen los siguientes números: $621 (7), 623 (7), 624 (7), 625 (7) .$

Caso 4: supongamos que

𝑛 = 𝑏 𝑐 𝑎 (11)

. Entonces:

𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑏 𝑐 𝑎 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑏 + 11 𝑐 + 𝑎 \Leftrightarrow 114 𝑏 + 10 𝑐 = 48 𝑎 \Leftrightarrow 57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 𝑎 .

Observamos que:

24 𝑎 = 57 𝑏 + 5 𝑐 \geq 57 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 67 \Rightarrow 𝑎 \geq 6724 \geq 3 .

Tenemos los siguientes casos.

Si $𝑎 = 3$ , entonces $57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 \cdot 3 = 72$ .
Si $𝑎 = 4$ , entonces $57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 \cdot 4 = 96$ .
Si $𝑎 = 5$ , entonces $57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 \cdot 5 = 120$ .
Si $𝑎 = 6$ , entonces $57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 \cdot 6 = 144$ .

Por comodidad, organizaremos los distintos valores de

57 𝑏 + 5 𝑐

mediante la siguiente tabla.

	$𝑐 = 1$	$𝑐 = 2$	$𝑐 = 3$	$𝑐 = 4$	$𝑐 = 5$	$𝑐 = 6$
$𝑏 = 1$	$\times$	67	72	77	82	87
$𝑏 = 2$	119	$\times$	129	134	139	144

No es necesario calcular más, puesto que serían valores mayores que 144. Solo hay dos casos que debemos estudiar:

Si $𝑏 = 1$ y $𝑐 = 3$ , se tiene que $57 𝑏 + 5 𝑐 = 72 = 24 \cdot 3$ , así que $𝑎 = 3$ . Como hay dos dígitos iguales, tenemos que descartar este caso.
Si $𝑏 = 2$ y $𝑐 = 6$ , se tiene que $57 𝑏 + 5 𝑐 = 144 = 24 \cdot 6$ , así que $𝑎 = 6$ . Como hay dos dígitos iguales, tenemos que descartar este caso.

Por tanto, este caso no es posible.

Caso 5: supongamos que

𝑛 = 𝑐 𝑎 𝑏 (11)

. Entonces:

𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑐 𝑎 𝑏 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑐 + 11 𝑎 + 𝑏 \Leftrightarrow 120 𝑐 = 38 𝑎 + 6 𝑏 \Leftrightarrow 60 𝑐 = 19 𝑎 + 3 𝑏 .

Ha de ocurrir que

19 𝑎 + 3 𝑏

sea múltiplo de 60. Por comodidad, organizaremos los distintos valores de

19 𝑎 + 3 𝑏

mediante la siguiente tabla.

	$𝑏 = 1$	$𝑏 = 2$	$𝑏 = 3$	$𝑏 = 4$	$𝑏 = 5$	$𝑏 = 6$
$𝑎 = 1$	$\times$	25	28	31	34	37
$𝑎 = 2$	41	$\times$	47	50	53	56
$𝑎 = 3$	60	63	$\times$	69	72	75
$𝑎 = 4$	79	82	85	$\times$	91	94
$𝑎 = 5$	98	101	104	107	$\times$	113
$𝑎 = 6$	117	120	123	126	129	$\times$

Solo hay dos casos que debemos estudiar:

Si $𝑎 = 3$ y $𝑏 = 1$ , se tiene que $19 𝑎 + 3 𝑏 = 60 = 60 \cdot 1$ , así que $𝑎 = 1$ . Como hay dos dígitos iguales, tenemos que descartar este caso.
Si $𝑎 = 6$ y $𝑏 = 2$ , se tiene que $19 𝑎 + 3 𝑏 = 120 = 60 \cdot 2$ , así que $𝑎 = 2$ . Como hay dos dígitos iguales, tenemos que descartar este caso.

Por tanto, este caso no es posible.

Caso 6: supongamos que

𝑛 = 𝑐 𝑏 𝑎 (11)

. Entonces:

𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑎 𝑏 𝑐 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑐 + 11 𝑏 + 𝑎 \Leftrightarrow 120 𝑐 + 4 𝑏 = 48 𝑎 \Leftrightarrow 30 𝑐 = 12 𝑎 - 𝑏 .

Observamos que:

12 𝑎 = 𝑏 + 30 𝑐 \geq 2 + 30 \cdot 1 = 33 \Rightarrow 𝑎 \geq 3312 \geq 3 .

Además, ha de ocurrir que

12 𝑎 - 𝑏

sea múltiplo de 30. Por comodidad, organizaremos los distintos valores de

12 𝑎 - 𝑏

mediante la siguiente tabla.

	$𝑎 = 3$	$𝑎 = 4$	$𝑎 = 5$	$𝑎 = 6$
$𝑏 = 1$	35	47	59	71
$𝑏 = 2$	34	46	58	70
$𝑏 = 3$	$\times$	45	57	69
$𝑏 = 4$	32	$\times$	56	68
$𝑏 = 5$	31	43	$\times$	67
$𝑏 = 6$	30	42	54	$\times$

Solo debemos estudiar un caso. Si

𝑎 = 3

𝑏 = 6

, se tiene que

12 𝑎 - 𝑏 = 30 = 30 \cdot 1

, así que

𝑐 = 1

. De esta forma, se obtiene el número

361 (7)

Por tanto, los números son:

312 (7), 314 (7), 315 (7), 316 (7), 621 (7), 623 (7), 624 (7), 625 (7), 361 (7) .

Problema 4: Examen de 2023 de Andalucía

Álgebra

Para cada $𝑛 \in ℕ$ no nulo y para cada $𝑎, 𝑏 \in ℂ$ considere la matriz $𝐴 𝑛 (𝑎) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 + 𝑎 10 \dots 00 𝑎 1 + 𝑎 1 \dots 00 0 𝑎 1 + 𝑎 \dots 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 000 \dots 1 + 𝑎 1 000 \dots 𝑎 1 + 𝑎 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \in 𝑀 𝑛 \times 𝑛 (ℂ)$ y el sistema de ecuaciones $𝐴 𝑛 (𝑎) 𝑋 = (0, 0, \dots, 𝑏) 𝑡$ con $𝑋 \in 𝑀 𝑛 \times 1 (ℂ) .$

Calcule los siguientes determinantes: $d e t (𝐴 1 (𝑎))$ , $d e t (𝐴 2 (𝑎))$ , $d e t (𝐴 3 (𝑎)) .$
Obtenga una relación lineal entre los determinantes de $𝐴 𝑛 (𝑎)$ , $𝐴 𝑛 + 1 (𝑎)$ y $𝐴 𝑛 + 2 (𝑎) .$
Halle, según los valores de $𝑎$ y $𝑛$ , una expresión para el determinante de $𝐴 𝑛 (𝑎) .$
Estudie el sistema $𝐴 𝑛 (𝑎) \cdot 𝑋 = (0, 0, \dots, 𝑏) 𝑡$ según los valores de $𝑎$ , $𝑛$ y $𝑏 .$

Resolución

Calculamos los determinantes. $d e t (𝐴 1 (𝑎)) = 1 + 𝑎, d e t (𝐴 2 (𝑎)) = ∣ 1 + 𝑎 1 𝑎 1 + 𝑎 ∣ = (1 + 𝑎) 2 - 𝑎 = 1 + 𝑎 + 𝑎 2, d e t (𝐴 3 (𝑎)) = ∣ 1 + 𝑎 10 𝑎 1 + 𝑎 1 0 𝑎 1 + 𝑎 ∣ = (1 + 𝑎) 3 - 2 𝑎 (1 + 𝑎) = 𝑎 3 + 3 𝑎 2 + 3 𝑎 + 1 - 2 𝑎 2 - 2 𝑎 = 1 + 𝑎 + 𝑎 2 + 𝑎 3 .$
Para hallar una relación lineal entre los determinantes, desarrollamos el determinante de la matriz $𝐴 𝑛 + 2 (𝑎) .$ $d e t (𝐴 𝑛 + 2) (𝐴) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 𝑎 100 \dots 00 𝑎 1 + 𝑎 10 \dots 00 0 𝑎 1 + 𝑎 1 \dots 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0000 \dots 1 + 𝑎 1 0000 \dots 𝑎 1 + 𝑎 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f i l a 1 = = (1 + 𝑎) d e t (𝐴 𝑛 + 1 (𝑎)) - ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑎 10 \dots 00 0 1 + 𝑎 1 \dots 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 000 \dots 1 + 𝑎 1 000 \dots 𝑎 1 + 𝑎 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ c o l u m n a 1 = = (1 + 𝑎) d e t (𝐴 𝑛 + 1 (𝑎)) - 𝑎 d e t (𝐴 𝑛 (𝑎)) .$
Observamos que las expresiones de los primeros determinantes desarrollados en el apartado (a) apuntan a que: $\det(A_n(a)) = 1 + a + \ldots + a^{n-1} + a^n, \quad \forall n \in \mathbb{N}.$ Demostremos esta igualdad por inducción.
- Si $𝑛 = 1$ , se verifica que $d e t (𝐴 1 (𝑎)) = 1 + 𝑎 .$
- Supongamos que la igualdad se verifica hasta $𝑛 + 1 .$ En particular, se tiene que $d e t (𝐴 𝑛 (𝑎)) = 1 + 𝑎 + \dots + 𝑎 𝑛 - 1 + 𝑎 𝑛, d e t (𝐴 𝑛 + 1 (𝑎)) = 1 + 𝑎 + \dots + 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛 + 1 .$ Veamos que la igualdad es cierta para $𝑛 + 2 .$ $d e t (𝐴 𝑛 + 2 (𝑎)) (b) = (1 + 𝑎) d e t (𝐴 𝑛 + 1 (𝑎)) - 𝑎 d e t (𝐴 𝑛 (𝑎)) = = (1 + 𝑎) (1 + 𝑎 + \dots + 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛 + 1) - 𝑎 (1 + 𝑎 + \dots + 𝑎 𝑛 - 1 + 𝑎 𝑛) = = 1 + 𝑎 + \dots + 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛 + 1 + 𝑎 + 𝑎 2 + \dots + 𝑎 𝑛 + 1 + 𝑎 𝑛 + 2 - 𝑎 - 𝑎 2 - \dots - 𝑎 𝑛 - 𝑎 𝑛 + 1 = = 1 + 𝑎 + \dots + 𝑎 𝑛 + 1 + 𝑎 𝑛 + 2 .$
Por tanto, $\det(A_n(a)) = 1 + a + \ldots + a^{n-1} + a^n, \quad \forall n \in \mathbb{N}.$
Consideramos el sistema $A_n(a) \cdot X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & b \end{pmatrix}^t \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & 1+a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_{n-1} \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ b \end{pmatrix}.$ Queremos estudiar cuándo se anula el determinante de la matriz de coeficientes $A_n(a).$ Observamos que: $\det(A_n(a)) = 1 + a + \dots + a^{n-1} + a^n = \sum_{k=0}^n a^k.$
- Si $𝑎 \neq 1$ , $d e t (𝐴 𝑛 (𝑎)) = 𝑛 \sum 𝑘 = 0 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑛 + 1 - 1 𝑎 - 1 .$ Se tiene que: $d e t (𝐴 𝑛 (𝑎)) = 0 \Leftrightarrow 𝑎 𝑛 + 1 - 1 𝑎 - 1 = 0 \Leftrightarrow 𝑎 𝑛 + 1 = 1 \Leftrightarrow 𝑎 = 𝑛 + 1 \sqrt 1 .$ Luego el determinante se anula cuando $𝑎 = 𝛼 𝑘 = 𝑒 2 𝑘 𝜋 𝑛 + 1 𝑖, 𝑘 = 1, 2, \dots, 𝑛 .$
- Si $𝑎 = 1$ , $d e t (𝐴 𝑛 (𝑎)) = 𝑛 \sum 𝑘 = 0 1 = 𝑛 + 1 \neq 0 .$
Así pues, si $a \neq \alpha_k$ para todo $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ , la matriz de coeficientes tiene rango máximo y, por tanto, el sistema es compatible determinado. Supongamos ahora $a = \alpha_k$ para algún $k \in \{1, 2, \dots, n\}.$ En este caso, tenemos que $\det(A_n(a)) = 0$ , mientras que: $\det(A_{n-1}(a)) = a^{n-1} + \dots + a + 1 = \sum_{k=0}^{n-1} a^k = \frac{a^n-1}{a-1} = \frac{\alpha_k^n - 1}{\alpha_k - 1} = \frac{e^{\frac{2kn\pi}{n+1}i} - 1}{e^{\frac{2k\pi}{n+1}i} - 1} \neq 0.$ Así que $\rang(A_n(a)) = n-1.$ Estudiamos el rango de la matriz ampliada: $\left(\begin{array}{cccccc | c} 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & 1+a & b \end{array}\right)$ Observamos que $\begin{align} \begin{vmatrix} 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a & b \end{vmatrix} \overset{\text{columna } n}{=} b \begin{vmatrix} 1+a & 1 & 0 & \dots & 0 \\ a & 1+a & 1 & \dots & 0 \\ 0 & a & 1+a & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1+a \end{vmatrix} = b \det(A_{n-1}(a)). \end{align}$ Como $\det(A_{n-1}(a)) = 0$ , este determinante solo se anula cuando $b = 0.$ Así pues, si $b = 0$ , el rango de la matriz ampliada es $n-1$ , por lo que se trata de un sistema compatible indeterminado. En caso contrario, el rango es $n$ , lo que conlleva que el sistema es incompatible. Por tanto:
- Si $𝑎 \neq 𝛼 𝑘$ para todo $𝑘 \in {1, 2, \dots, 𝑛}$ , el sistema es compatible determinado.
- Si $a = \alpha_k$ para algún $k \in \{1, 2, \dots, n\}$ , hay dos posibilidades:
  - Si $𝑏 = 0$ , el sistema es compatible indeterminado.
  - Si $𝑏 \neq 0$ , el sistema es incompatible.

Problema 5: Examen de 2023 de Andalucía

Un grupo de alumnos de 1º de ESO va a visitar las instalaciones deportivas de un equipo de baloncesto. Para dinamizar la visita, el club ha preparado una actividad para el alumnado. Sobre la cancha han colocado cierto número de pelotas de baloncesto. Si cada pelota dispuesta la toma un alumno distinto, quedarán $𝑛$ alumnos sin haber cogido ninguna pelota. Sin embargo, si se montan equipos de $𝑛$ alumnos alrededor de cada pelota dispuesta, quedarán libres $𝑛$ pelotas. ¿Cuántas pelotas ha dispuesto el equipo de baloncesto para organizar la actividad?
Dada la función $f(x) = \frac{x}{\ln(x)}.$
1. Represéntela.
2. Calcule, según el valor de $𝑎 \in ℝ$ , el número de soluciones de la ecuación $𝑥 - 𝑎 l n (𝑥) = 0 .$

Resolución

Sean $a$ el número de alumnos y $p$ el número de pelotas, con $a, p \in \mathbb{N}.$ Se tiene que: $\begin{cases} a - p = n, \\ n(p-n) = a. \end{cases}$ Resolvemos el sistema por sustitución. Como $a = n + p$ , entonces: $n(p-n) = p + n \Leftrightarrow np - n^2 = p + n \Leftrightarrow (n-1)p = n^2 + n \Leftrightarrow p = \frac{n^2+n}{n-1}.$ Si hacemos la división de polinomios, tenemos que: $p = \frac{n^2+n}{n-1} = n + 2 + \frac{2}{n-1}.$ Como $p, n \in \mathbb{N}$ , las únicas posibilidades son $n = 2$ y $n = 3.$
- Si $𝑛 = 2$ , entonces $𝑝 = 6$ y $𝑎 = 8 .$
- Si $𝑛 = 3$ , entonces $𝑝 = 6$ y $𝑎 = 9 .$
En cualquier caso, se ha dispuesto de 6 pelotas.
1. El dominio de la función es $\Dom(f) = (0, 1) \cup (1, +\infty).$ Es inmediato ver que no tiene puntos de corte con los ejes ni presenta simetría. Se trata además de una función continua y derivable en todo su dominio.
  - Estudiamos la existencia de asíntotas verticales.
    - Para $𝑥 = 0$ , $l í m 𝑥 \to 0 - 𝑓 (𝑥) n o e x i s t e, l í m 𝑥 \to 0 + 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to 0 + 𝑥 l n (𝑥) = 0 .$ Luego no tiene asíntota vertical en $𝑥 = 0 .$
    - Para $𝑥 = 1$ , $l í m 𝑥 \to 1 - 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to 1 - 𝑥 l n (𝑥) = 1 0 - = - \infty, l í m 𝑥 \to 1 + 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to 1 + 𝑥 l n (𝑥) = 1 0 + = + \infty .$ Luego la recta $𝑥 = 1$ es una asíntota vertical.
    Como no es una función racional y además $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\ln(x)} = +\infty,$ no tiene asíntota horizontal ni oblicua.
  - Para estudiar su monotonía, hallamos en primer lugar la derivada de la función. $f'(x) = \frac{\ln(x) - x \cdot \frac{1}{x}}{\ln^2(x)} = \frac{\ln(x) - 1}{\ln^2(x)}.$ Hallamos los puntos críticos igualando la derivada a cero. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{\ln(x) - 1}{\ln^2(x)} = 0 \Leftrightarrow \ln(x) = 1 \Leftrightarrow x = e.$ Estudiamos el signo de la derivada.
    - Si $0 < 𝑥 < 1$ , $𝑓' (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es decreciente.
    - Si $1 < 𝑥 < 𝑒$ , $𝑓' (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es decreciente.
    - Si $𝑥 > 𝑒$ , $𝑓' (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es creciente.
    Luego $f$ es creciente en $(e, +\infty)$ y decreciente en $(0, 1) \cup (1, e)$ , con el punto $(e, e)$ como mínimo relativo.
  - Para estudiar su curvatura, hallamos su segunda derivada. $\begin{align} f''(x) & = \frac{\frac{1}{x} \cdot \ln^2(x) - (\ln(x)-1) \cdot 2\ln(x) \cdot \frac{1}{x}}{\ln^4(x)} = \frac{\ln^2(x) - (\ln(x) - 1) \cdot 2\ln(x)}{x\ln^4(x)} = \\ & = \frac{-\ln^2(x) + 2\ln(x)}{x\ln^4(x)} \overset{x \neq 1}{=} \frac{-\ln(x) + 2}{x\ln^3(x)}. \end{align}$ Hallamos los candidatos a puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero. $f''(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{-\ln(x) + 2}{x\ln^3(x)} = 0 \Leftrightarrow -\ln(x) + 2 = 0 \Leftrightarrow \ln(x) = 2 \Leftrightarrow x = e^2.$ Estudiamos el signo de la segunda derivada.
    - Si $0 < 𝑥 < 1$ , $𝑓 ″ (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es cóncava.
    - Si $1 < 𝑥 < 𝑒 2$ , $𝑓 ″ (𝑥) > 0 .$ Así que $𝑓$ es convexa.
    - Si $𝑥 > 𝑒 2$ , $𝑓 ″ (𝑥) < 0 .$ Así que $𝑓$ es cóncava.
    Luego $f$ es convexa en $(1, e^2)$ y cóncava en $(0, 1) \cup (e^2, +\infty)$ , con el punto de inflexión $\left(e^2, \frac{e^2}{2}\right).$
  Representamos la gráfica de la función con toda esta información.
2. Observamos que: $x - a\ln(x) = 0 \Leftrightarrow x = a\ln(x) \overset{x \neq 0}{\Leftrightarrow} \frac{x}{\ln(x)} = a \Leftrightarrow f(x) = a.$ Luego el número de soluciones de esta ecuación se corresponde con el número de puntos de corte de la función $f$ con la recta horizontal $y = a.$
  - Si $𝑎 < 0$ hay un único punto de corte, así que la ecuación tiene una solución.
  - Si $𝑎 = 0$ , $𝑥 - 0 \cdot l n (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = 0 .$ Así que tiene una solución.
  - Si $0 < 𝑎 < 𝑒$ no hay puntos de corte, así que la ecuación no tiene ninguna solución.
  - Si $𝑎 = 𝑒$ hay un único punto de corte, así que la ecuación tiene una solución.
  - Si $𝑎 > 𝑒$ hay dos puntos de corte, así que la ecuación tiene dos soluciones.

Problema 4: Examen de 2021 de Andalucía

Álgebra

Sea $𝑉$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $𝕂 .$ Pruebe que si un vector $𝑣$ depende linealmente de ${𝑢 1, 𝑢 2, 𝑢 3}$ pero no depende linealmente de ${𝑢 2, 𝑢 3}$ entonces $𝑢 1$ depende linealmente de ${𝑣, 𝑢 2, 𝑢 3} .$
En el espacio vectorial $\mathbb{Q}^4$ se consideran los subespacios $S_1 = \Bigg\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \Bigg\rangle, \quad S_2: \begin{cases} x - y = 0, \\ x - z = 0, \end{cases}, \quad S_3: \begin{cases} y + z = 0. \end{cases}$
1. Halle $d i m (𝑆 1 + 𝑆 2)$ y $d i m (𝑆 1 \cap 𝑆 2) .$
2. Halle una base de $𝑆 1 \cap 𝑆 3 .$
3. ¿Qué dimensión tiene $𝑆 1 + 𝑆 3 .$

Resolución

Supongamos que $𝑣$ es un vector linealmente dependiente de ${𝑢 1, 𝑢 2, 𝑢 3} .$ Entonces existen $𝑎, 𝑏, 𝑐 \in 𝕂$ tales que: $𝑣 = 𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 + 𝑐 𝑢 3 .$ Además, $𝑣$ no depende linealmente de ${𝑢 2, 𝑢 3}$ , así que $𝑎 \neq 0 .$ Como $𝑎$ es un elemento no nulo de un cuerpo $𝕂$ , tiene inverso. Por tanto: $𝑣 = 𝑎 𝑢 1 + 𝑏 𝑢 2 + 𝑐 𝑢 3 \Leftrightarrow 𝑎 𝑢 1 = 𝑣 - 𝑏 𝑢 2 - 𝑐 𝑢 3 \Leftrightarrow 𝑢 1 = 1 𝑎 𝑣 - 𝑏 𝑎 𝑢 2 - 𝑐 𝑎 𝑢 3 .$ Luego $𝑢 1$ depende linealmente de ${𝑣, 𝑢 2, 𝑢 3} .$
1. En primer lugar, hallamos las dimensiones de $S_1$ y $S_3.$
  - Veamos si los tres vectores que generan $𝑆 1$ son linealmente independientes. Observamos que: $∣ 110 10 - 1 132 ∣ = 0, ∣ 1110 ∣ = - 1 \neq 0 .$ Así que $d i m (𝑆 1) = 2$ y se puede expresar como: $𝑆 1 = ⟨ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟩ .$
  - Hallamos los vectores que generan $𝑆 2 .$ Si tomamos $𝑥 = 𝜆$ , $𝑆 2 : ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 = 𝜆, 𝑦 = 𝜆, 𝑧 = 𝜆, 𝑡 = 𝜇 \Leftrightarrow 𝑆 2 : ⟨ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1110 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟩ .$ Los dos vectores son linealmente independientes, así que $d i m (𝑆 2) = 2 .$
  Hallamos el subespacio $S_1 + S_2.$ $S_1 + S_2 = \Bigg\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \Bigg\rangle.$ Observamos que: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0.$ Así que $\dim(S_1 + S_2) = 4.$ Por tanto, también se tiene que: $\dim(S_1 \cap S_2) = \dim(S_1) + \dim(S_2) - \dim(S_1 + S_2) = 2 + 2 - 4 = 0.$
2. El subespacio $𝑆 1$ se puede expresar como: $𝑆 1 : ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 = 𝜆 + 𝜇, 𝑦 = 𝜆, 𝑧 = - 𝜇, 𝑡 = 0 = {𝑥 = 𝑦 - 𝑧, 𝑡 = 0 .$ Por tanto, $𝑆 1 \cap 𝑆 3 : ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 = 𝑦 - 𝑧, 𝑡 = 0, 𝑦 + 𝑧 = 0 = ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 = 2 𝑦, 𝑧 = - 𝑦, 𝑡 = 0 = ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 = 2 𝜆, 𝑦 = 𝜆, 𝑧 = - 𝜆, 𝑡 = 0 \Leftrightarrow 𝑆 1 \cap 𝑆 3 = ⟨ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 21 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟩ .$
3. En primer lugar, hallamos la dimensión de $𝑆 3 .$ Si $𝑦 = 𝜆$ , $𝑆 3 : ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 = 𝛼, 𝑦 = 𝜆, 𝑧 = - 𝜆, 𝑡 = 𝛽 \Leftrightarrow 𝑆 3 = ⟨ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟩ .$ Los tres vectores son linealmente independientes, así que $d i m (𝑆 3) = 3 .$ Como además $d i m (𝑆 1 \cap 𝑆 3) = 1$ , tenemos que: $d i m (𝑆 1 + 𝑆 3) = d i m (𝑆 1) + d i m (𝑆 3) - d i m (𝑆 1 \cap 𝑆 3) = 2 + 3 - 1 = 4 .$

Problema 6: Examen de 2021 de Andalucía

Sea $Υ = {𝑥 \in ℤ : 𝑥 e s m ú l t i p l o d e 20210} .$ Prueba que si $(𝛼 + \sqrt 85 𝛽) \in Υ$ y $(\sqrt 85 𝛼 - 𝛽) \in Υ$ , entonces $𝛼 2 + 𝛽 2 \in Υ .$
Se colocan al azar cuatro bolas en tres urnas.
1. Describa la distribución de la variable aleatoria $𝑋 = 𝑛 ú 𝑚 𝑒 𝑟 𝑜 𝑚 á 𝑥 𝑖 𝑚 𝑜 𝑑 𝑒 𝑏 𝑜 𝑙 𝑎 𝑠 𝑞 𝑢 𝑒 ℎ 𝑎 𝑦 𝑒 𝑛 𝑎 𝑙 𝑔 𝑢 𝑛 𝑎 𝑢 𝑟 𝑛 𝑎 .$
2. Halle $𝐸 (𝑋) .$

Resolución

Los números $(\alpha + \sqrt{85}\beta)$ y $(\sqrt{85}\alpha - \beta)$ son múltiplos de 20210, así que existen $k, q \in \mathbb{Z}$ tales que: $\begin{align} & \alpha + \sqrt{85}\beta = 20210k \Leftrightarrow \alpha = 20210k - \sqrt{85}\beta, \\ & \sqrt{85}\alpha - \beta = 20210q \Leftrightarrow \beta = \sqrt{85}\alpha - 20210q. \end{align}$
- Sustituyendo la expresión de $𝛽$ en la de $𝛼$ , tenemos que: $𝛼 = 20210 𝑘 - \sqrt 85 𝛽 = 20210 𝑘 - \sqrt 85 (\sqrt 85 𝛼 - 20210 𝑞) = 2021 𝑘 - 85 𝛼 + 20210 \sqrt 85 𝑞 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 86 𝛼 = 20210 (𝑘 + \sqrt 85 𝑞) \Leftrightarrow 𝛼 = 235 (𝑘 + \sqrt 85 𝑞) .$
- Sustituyendo la expresión de $𝛼$ en la de $𝛽$ , tenemos que: $𝛽 = \sqrt 85 𝛼 - 20210 𝑞 = \sqrt 85 (20210 𝑘 - \sqrt 85 𝛽) - 20210 𝑞 = 20210 \sqrt 85 𝑘 - 85 𝛽 - 20210 𝑞 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 86 𝛽 = 20210 (\sqrt 85 𝑘 - 𝑞) \Leftrightarrow 𝛽 = 235 (\sqrt 85 𝑘 - 𝑞) .$
Por tanto: $\begin{align} \alpha^2 + \beta^2 & = 235^2(k + \sqrt{85}q)^2 + 235^2(\sqrt{85}k - q)^2 = 235^2(k^2 + 2\sqrt{85}kq + 85q^2 + 85k^2 - 2\sqrt{85}kq + q^2) = \\ & = 235^2(86k^2 + 86q^2) = 235^2 \cdot 86 \cdot (k^2 + q^2) = 20210 \cdot 235 \cdot (k^2 + q^2). \end{align}$ Luego el número $\alpha^2 + \beta^2$ es múltiplo de 20210, así que $\alpha^2 + \beta^2 \in \Upsilon.$
1. La variable $X$ es una variable aleatoria discreta con $D_X = \{2, 3, 4\}.$ Por comodidad, representamos las distintas posibilidades mediante números de cuatro dígitos, donde la cifra en la posición $i$ representa la urna en la que está la bola $i.$ Por ejemplo, el número 3213 indica que la primera bola está en la urna 3, la segunda en la urna 2, la tercera en la urna 1 y la cuarta en la urna 3. En total, hay $3^4 = 81$ posibilidades. Analizamos cada caso.
  - Si $𝑋 = 4$ , el número tiene todas sus cifras iguales. Solo hay 3 casos: 1111, 2222 y 3333. Así que: $𝑃 (𝑋 = 4) = 381 = 127 .$
  - Si $𝑋 = 3$ , el número tiene tres cifras iguales. Si se repite el 1, tenemos 8 casos. Luego en total hay $3 \cdot 8 = 24$ casos. Así que: $𝑃 (𝑋 = 3) = 2481 = 827 .$
  - Si $𝑋 = 2$ , el número tiene dos cifras iguales. Le corresponden los casos restantes, es decir, $81 - (3 + 24) = 54$ casos. Así que: $𝑃 (𝑋 = 2) = 5481 = 23 .$
  Por tanto, la distribución de la variable aleatoria $X$ es: $P(X = n) = \begin{cases} \frac{2}{3}, & \text{si } n = 2, \\ \frac{8}{27}, & \text{si } n = 3, \\ \frac{1}{27}, & \text{si } n = 4, \\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases}$
2. Calculamos la esperanza de $𝑋 .$ $𝐸 (𝑋) = \sum 𝑥 \in 𝐷 𝑥 𝑥 \cdot 𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 2 \cdot 𝑃 (𝑋 = 2) + 3 \cdot 𝑃 (𝑋 = 3) + 4 \cdot 𝑃 (𝑋 = 4) = 2 \cdot 23 + 3 \cdot 827 + 4 \cdot 127 = 6427 .$

Problema 1: Examen de 2018 de Andalucía

Álgebra

Dada la matriz $𝐴 \in ℝ 4 \times 3$ , el vector $𝑏 \in ℝ 4$ , $𝛼 \in ℝ$ y el subespacio $𝐹$ de $ℝ 4$ $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 20 01 - 1 - 1 11 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝑏 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 𝛼 - 2 𝛼 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ y 𝐹 \equiv {𝑥 1 + 𝑥 2 - 𝑥 4 = 0, 𝑥 1 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 0 .$

Discutir y resolver cuando sea compatible el sistema $𝐴 𝑋 = 𝑏$ , con $𝑋 \in ℝ 3 .$
Sea $𝐸$ el espacio columna de $𝐴$ , calcular sus ecuaciones implícitas.
Encontrar una base del subespacio $𝐸 \cap 𝐹 .$
Calcular la matriz $𝐵$ de la transformación lineal $𝑇 : ℝ 3 \to ℝ 4$ que verifica: $𝑇 (𝑒 1) = 𝐴 (𝑒 2 + 𝑒 3), 𝑇 (𝑒 2) = 𝐴 𝑒 3, 𝑇 (𝑒 3) = 𝐴 𝑒 2,$ donde ${𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3}$ es la base canónica de $ℝ 3 .$

Resolución

Para hallar el rango de la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^\ast$ , realizamos transformaciones elementales. $A^\ast = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & \alpha - 2 \\ 0 & 1 & -1 & \alpha^2 \end{array}\right) \xrightarrow[F_4 - F_2]{F_3 - F_1} \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & \alpha - 2 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha^2 - 1 \end{array}\right) \xrightarrow{F_3 + F_2} \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - 1 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha^2 - 1 \end{array}\right).$ Observamos que $\rang(A) = 2$ para todo $\alpha \in \mathbb{R}.$ Estudiamos el rango de la matriz ampliada en función de $\alpha.$
- Si $𝛼 \neq \pm 1$ , $r a n g (𝐴 *) = 4 .$ Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es incompatible.
- Si $𝛼 = - 1$ , $r a n g (𝐴 *) = 3 .$ Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es incompatible.
- Si $𝛼 = 1$ , $r a n g (𝐴 *) = 2 .$ Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado.
Para $\alpha = 1$ , el sistema se puede reducir a: $\begin{cases} -x_1 + 2x_2 = 0, \\ x_2 - x_3 = 0. \end{cases}$ Por tanto, si tomamos $y = \lambda$ , las soluciones del sistema son de la forma: $\begin{cases} x_1 = 2\lambda, \\ x_2 = \lambda, \\ x_3 = \lambda - 1, \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.$
El espacio $𝐸$ está generado por los vectores columna de $𝐴 .$ Como $r a n g (𝐴) = 2$ , se tiene que: $𝐸 = ⟨ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 0 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2111 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 1 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟩ = ⟨ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 0 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2111 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟩ .$ Se puede expresar como: $𝐸 : ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 1 = - 𝜆 + 2 𝜇, 𝑥 2 = 𝜇, 𝑥 3 = - 𝜆 + 𝜇, 𝑥 4 = 𝜇 \Leftrightarrow {𝑥 1 - 𝑥 3 = 𝑥 2, 𝑥 2 = 𝑥 4 . \Leftrightarrow {𝑥 1 - 𝑥 2 - 𝑥 3 = 0, 𝑥 2 - 𝑥 4 = 0 .$
Hallamos el subespacio $𝐸 \cap 𝐹 .$ $𝐸 \cap 𝐹 : ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 1 - 𝑥 2 - 𝑥 3 = 0, 𝑥 2 - 𝑥 4 = 0, 𝑥 1 + 𝑥 2 - 𝑥 4 = 0, 𝑥 1 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 0 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 2 = 𝑥 4, 𝑥 1 = 0, 𝑥 3 = - 𝑥 4 \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 1 = 0, 𝑥 2 = 𝜆, 𝑥 3 = - 𝜆, 𝑥 4 = 𝜆 \Leftrightarrow 𝐸 \cap 𝐹 = ⟨ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 01 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟩ .$
La transformación lineal $𝑇$ verifica: $𝑇 (𝑒 1) = 𝐴 (𝑒 2 + 𝑒 3) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 20 01 - 1 - 1 11 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 011 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2020 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝑇 (𝑒 2) = 𝐴 𝑒 3 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 20 01 - 1 - 1 11 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 - 1 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝑇 (𝑒 3) = 𝐴 𝑒 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 20 01 - 1 - 1 11 01 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2111 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, $𝐵 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 202 0 - 1 1 211 0 - 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Problema 1: Examen de 2016 de Andalucía

Álgebra

Resolver las siguientes cuestiones de divisibilidad:

En una batalla en la que participan entre 10.000 y 11.000 soldados resultaron muertos $23165$ y heridos $35143$ del total. Hallar cuantos soldados resultaron ilesos.
Hallar el número $𝑁 = 2 𝑎 5 𝑏$ sabiendo que la suma de todos sus divisores es $961 .$

Resolución

Sea $n \in \mathbb{N}$ el número de soldados, con $10.000 \leq n \leq 11.000.$
- $23165 𝑛$ soldados resultaron muertos, así que $23165 𝑛 \in ℕ .$ Luego $𝑛$ es múltiplo de 165.
- $35143 𝑛$ soldados resultaron heridos, así que $35143 𝑛 \in ℕ .$ Luego $𝑛$ es múltiplo de 143.
Hallamos el mínimo común múltiplo de 165 y 143. $\begin{cases} 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11, \\ 143 = 11 \cdot 13 \end{cases} \Rightarrow \operatorname{mcm}(165, 143) = 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 = 2.145.$ Así que $n$ es múltiplo de 2.145. Sus primeros múltiplos son: $2.145, \quad 4.290, \quad 6.435, \quad 8.580, \quad 10.725, \quad 12.870.$ Como $10.000 \leq n \leq 11.000$ , necesariamente $n = 10.725.$ Calculamos el número de soldados muertos y heridos.
- Resultaron muertos $23165 \cdot 10.725 = 1.495$ soldados.
- Resultaron heridos $35143 \cdot 10.725 = 2.625$ soldados.
Por tanto, resultaron ilesos: $10.725 - 1.495 - 2.625 = 6.605.$
Sea $𝑁 = 2 𝑎 \cdot 5 𝑏 .$ Los divisores de $𝑁$ son de la forma $2 𝑟 \cdot 5 𝑠$ , con $0 \leq 𝑟 \leq 𝑎$ y $0 \leq 𝑠 \leq 𝑏 .$ La suma de todos los divisores viene dada por: $\sum 0 \leq 𝑟 \leq 𝑎 0 \leq 𝑠 \leq 𝑏 2 𝑟 \cdot 5 𝑠 = 𝑏 \sum 𝑠 = 0 𝑎 \sum 𝑟 = 0 2 𝑟 \cdot 5 𝑠 = (𝑎 \sum 𝑟 = 0 2 𝑟) \cdot (𝑏 \sum 𝑠 = 0 5 𝑠) = (2 𝑎 + 1 - 1) \cdot 5 𝑏 + 1 - 1 4 = 14 (2 𝑎 + 1 - 1) (5 𝑏 + 1 - 1) .$ La suma los divisores es 961, así que: $\sum 0 \leq 𝑟 \leq 𝑎 0 \leq 𝑠 \leq 𝑏 2 𝑟 \cdot 5 𝑠 = 961 \Leftrightarrow 14 (2 𝑎 + 1 - 1) (5 𝑏 + 1 - 1) = 961 \Leftrightarrow (2 𝑎 + 1 - 1) (5 𝑏 + 1 - 1) = 3.844 = 22 \cdot 312 = 31 \cdot 124 \Leftrightarrow \Leftrightarrow {2 𝑎 + 1 - 1 = 31 \Leftrightarrow 2 𝑎 + 1 = 32 \Leftrightarrow 𝑎 + 1 = 5 \Leftrightarrow 𝑎 = 4, 5 𝑏 + 1 - 1 = 124 \Leftrightarrow 5 𝑏 + 1 = 125 \Leftrightarrow 𝑏 + 1 = 3 \Leftrightarrow 𝑏 = 2 .$ Por tanto, $𝑁 = 24 \cdot 52 = 400 .$

Problema 2: Examen de 2016 de Andalucía

Álgebra

Hallar todos los polinomios del tipo $𝑃 (𝑥) = 𝑥 2 - 𝑎 𝑥 + 𝑏$ , $𝑎, 𝑏 \in ℤ$ , que tienen una raíz que es raíz $𝑛$ -ésima de la unidad.

Resolución

Hallamos las raíces del polinomio: $𝑃 (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 𝑥 2 - 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = 𝑎 \pm \sqrt 𝑎 2 - 4 𝑏 2 .$ Veamos para qué valores es una raíz $𝑛$ -ésima de la unidad. Consideramos dos casos.

Supongamos que las raíces del polinomio son reales, esto es, $a^2 - 4b \geq 0.$ El polinomio tendrá como raíz una raíz $n$ -ésima de la unidad si y solo si una de sus raíces es 1 o -1.
- Para que 1 sea raíz del polinomio, se tiene que verificar que: $𝑎 \pm \sqrt 𝑎 2 - 4 𝑏 2 = 1 \Leftrightarrow 𝑎 \pm \sqrt 𝑎 2 - 4 𝑏 = 2 \Leftrightarrow \pm \sqrt 𝑎 2 - 4 𝑏 = 2 - 𝑎 \Leftrightarrow 𝑎 2 - 4 𝑏 = (2 - 𝑎) 2 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 𝑎 2 - 4 𝑏 = 4 - 4 𝑎 + 𝑎 2 \Leftrightarrow 𝑏 = 𝑎 - 1 .$ Observamos que: $𝑎 2 - 4 𝑏 = 𝑎 2 - 4 (𝑎 - 1) = 𝑎 2 - 4 𝑎 + 4 = (𝑎 - 2) 2 \geq 0 .$ Por tanto, los polinomios de la forma $𝑃 (𝑥) = 𝑥 2 - 𝑎 𝑥 + 𝑎 - 1$ tienen 1 como raíz.
- Para que -1 sea raíz del polinomio, se tiene que verificar que: $𝑎 \pm \sqrt 𝑎 2 - 4 𝑏 2 = - 1 \Leftrightarrow 𝑎 \pm \sqrt 𝑎 2 - 4 𝑏 = - 2 \Leftrightarrow \pm \sqrt 𝑎 2 - 4 𝑏 = - 2 - 𝑎 \Leftrightarrow 𝑎 2 - 4 𝑏 = (- 2 - 𝑎) 2 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 𝑎 2 - 4 𝑏 = 4 + 4 𝑎 + 𝑎 2 \Leftrightarrow 𝑏 = - 𝑎 - 1 .$ Observamos que: $𝑎 2 - 4 𝑏 = 𝑎 2 - 4 (- 𝑎 - 1) = 𝑎 2 + 4 𝑎 + 4 = (𝑎 + 2) 2 \geq 0 .$ Por tanto, los polinomios de la forma $𝑃 (𝑥) = 𝑥 2 - 𝑎 𝑥 - 𝑎 - 1$ tienen -1 como raíz.
Supongamos que las raíces del polinomio son complejas, esto es, $𝑎 2 - 4 𝑏 < 0 .$ El polinomio tendrá como raíz una $𝑛$ -ésima de la unidad si y solo si tiene alguna raíz de la forma $𝜉 = c o s (𝛼) + 𝑖 s e n (𝛼) .$ Para que $𝜉$ sea raíz del polinomio, se tiene que verificar que: $𝑎 \pm \sqrt 𝑎 2 - 4 𝑏 2 = c o s (𝛼) + 𝑖 s e n (𝛼) \Leftrightarrow 𝑎 \pm 𝑖 \sqrt 4 𝑏 - 𝑎 2 = 2 c o s (𝛼) + 2 𝑖 s e n (𝛼) \Leftrightarrow {𝑎 = 2 c o s (𝛼), \pm \sqrt 4 𝑏 - 𝑎 2 = 2 s e n (𝛼) \Leftrightarrow {𝑎 2 = 4 c o s 2 (𝛼), 4 𝑏 - 𝑎 2 = 4 s e n 2 (𝛼) .$ Sumando las dos ecuaciones, se tiene que: $𝑎 2 + 4 𝑏 - 𝑎 2 = 4 c o s 2 (𝛼) + 4 s e n 2 (𝛼) \Leftrightarrow 4 𝑏 = 4 \Leftrightarrow 𝑏 = 1 .$ Observamos que: $𝑎 2 - 4 𝑏 < 0 \Leftrightarrow 𝑎 2 < 4 𝑏 \Leftrightarrow 𝑎 2 < 4 \Leftrightarrow - 2 < 𝑎 < 2 𝑎 \in ℤ \Leftrightarrow 𝑎 \in {- 1, 0, 1} .$ Por tanto, los polinomios de la forma $𝑃 (𝑥) = 𝑥 2 - 𝑎 𝑥 + 1$ , con $𝑎 \in {- 1, 0, 1}$ , tienen como raíz una raíz $𝑛$ -ésima de la unidad compleja. En concreto, los polinomios son: $𝑃 (𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 1, 𝑃 (𝑥) = 𝑥 2 + 1 y 𝑃 (𝑥) = 𝑥 2 - 𝑥 + 1 .$

Problema 5: Examen de 2016 de Andalucía

Álgebra

Discutir y resolver el sistema lineal: $⎧ { { {⎨ { { {⎩ - 𝑥 + (1 + 𝜆) 𝑦 + (2 - 𝜆) 𝑧 + 𝜆 𝑡 = 3, 𝜆 𝑥 + 𝑦 + (2 - 𝜆) 𝑧 + 𝜆 𝑡 = 2, 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 + (2 - 𝜆) 𝑧 + 𝜆 𝑡 = 2, 𝜆 𝑥 + 𝜆 𝑦 + (2 - 𝜆) 𝑧 - 𝑡 = 2 .$

Resolución

Para hallar el rango de la matriz de coeficientes $𝐴$ y la matriz ampliada $𝐴 *$ , realizamos transformaciones elementales. $𝐴 * = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 1 + 𝜆 2 - 𝜆 𝜆 3 𝜆 1 2 - 𝜆 𝜆 2 𝜆 𝜆 2 - 𝜆 𝜆 2 𝜆 𝜆 2 - 𝜆 - 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐹 3 - 𝐹 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐹 4 - 𝐹 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 1 + 𝜆 2 - 𝜆 𝜆 3 𝜆 1 2 - 𝜆 𝜆 2 0 - 1 + 𝜆 000 0 - 1 + 𝜆 0 - 1 - 𝜆 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐹 2 - 𝐹 1 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to - 𝐹 4 + 𝐹 3 ⟶ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 1 + 𝜆 2 - 𝜆 𝜆 3 1 + 𝜆 - 𝜆 00 - 1 0 - 1 + 𝜆 000 000 1 + 𝜆 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Hallamos el determinante de $𝐴 .$ $| 𝐴 | = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ - 1 1 + 𝜆 2 - 𝜆 𝜆 1 + 𝜆 - 𝜆 00 0 - 1 + 𝜆 00 000 1 + 𝜆 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = (1 + 𝜆) ∣ - 1 1 + 𝜆 2 - 𝜆 1 + 𝜆 - 𝜆 0 0 - 1 + 𝜆 0 ∣ = (1 + 𝜆) (1 - 𝜆) ∣ 1 2 - 𝜆 1 + 𝜆 0 ∣ = = (1 + 𝜆) 2 (1 - 𝜆) (- 2 + 𝜆) .$ Observamos que: $| 𝐴 | = 0 \Leftrightarrow (1 + 𝜆) 2 (1 - 𝜆) (- 2 + 𝜆) = 0 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝜆 = - 1, 𝜆 = 1, 𝜆 = 2 .$

Si $𝜆 \neq - 1$ , $𝜆 \neq 1$ y $𝜆 \neq 2$ , $r a n g (𝐴) = r a n g (𝐴 *) = 4 .$ Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado. Queda de la forma: $⎧ { { {⎨ { { {⎩ - 𝑥 + (1 + 𝜆) 𝑦 + (2 - 𝜆) 𝑧 + 𝜆 𝑡 = 3, (1 + 𝜆) 𝑥 - 𝜆 𝑦 = 1, (- 1 + 𝜆) 𝑦 = 0, (1 + 𝜆) 𝑡 = 0 \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ - 𝑥 + (2 - 𝜆) 𝑧 = 3, (1 + 𝜆) 𝑥 = - 1, 𝑦 = 0, 𝑡 = 0 .$ Despejando en la segunda ecuación, se tiene que: $(1 + 𝜆) 𝑥 = - 1 \Leftrightarrow 𝑥 = - 1 1 + 𝜆 .$ Sustituyendo en la primera ecuación, $1 1 + 𝜆 + (2 - 𝜆) 𝑧 = 3 \Leftrightarrow (1 + 𝜆) (2 - 𝜆) 𝑧 = 3 (1 + 𝜆) - 1 \Leftrightarrow 𝑧 = 2 + 3 𝜆 (1 + 𝜆) (2 - 𝜆) .$ Por tanto, la solución del sistema es: $⎧ { { { {⎨ { { { {⎩ 𝑥 = - 1 1 + 𝜆, 𝑦 = 0, 𝑧 = 2 + 3 𝜆 (1 + 𝜆) (2 - 𝜆), 𝑡 = 0 .$
Si $𝜆 = - 1$ , la matriz ampliada es: $𝐴 * = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 03 - 1 3 0100 - 1 0 - 2 000 00000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟶ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 03 - 1 3 0100 - 1 0 - 2 000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2 𝐹 2 + 𝐹 3 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 03 - 1 3 0000 - 2 0 - 2 000 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, el sistema es incompatible.
Si $𝜆 = 1$ , la matriz ampliada es: $𝐴 * = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 2113 2 - 1 00 - 1 0000000020 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⟶ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 2113 2 - 1 00 - 1 00020 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐹 1 - 𝐹 3 / 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐹 3 / 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 2103 2 - 1 00 - 1 00010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐹 1 + 2 𝐹 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to ⟶ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 30101 2 - 1 00 - 1 00010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Observamos que: $∣ 310200001 ∣ = ∣ 3120 ∣ = - 2 \neq 0 \Rightarrow r a n g (𝐴) = r a n g (𝐴 *) = 3 .$ Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado. Queda de la forma: $⎧ { {⎨ { {⎩ 3 𝑥 + 𝑧 = 1, 2 𝑥 - 𝑦 = - 1, 𝑡 = 0 .$ Si tomamos $𝑥 = 𝜇$ , las soluciones son de la forma: $⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 = 𝜇, 𝑦 = 2 𝜇 + 1, 𝑧 = 1 - 3 𝜇, 𝑡 = 0, 𝜇 \in ℝ .$
Si $𝜆 = 2$ , la matriz ampliada es: $𝐴 * = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 3023 3 - 2 00 - 1 0100000030 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 3 𝐹 1 + 𝐹 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐹 4 / 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 07068 3 - 2 00 - 1 0100000010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐹 1 - 7 𝐹 3 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to 𝐹 2 + 2 𝐹 3 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 00068 3000 - 1 0100000010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 𝐹 1 - 6 𝐹 4 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to ⟶ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 00008 3000 - 1 0100000010 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$ Por tanto, el sistema es incompatible.

Problema 2: Examen de 2014 de Andalucía

Álgebra

Calcular $𝑎$ , $𝑏$ y $𝑐$ números complejos tales que: $𝑧 3 + 𝑧 2 (5 𝑖 - 6) + 𝑧 (9 - 24 𝑖) + 18 + 13 𝑖 = (𝑧 + 𝑖) (𝑎 𝑧 2 + 𝑏 𝑧 + 𝑐) .$
Resolver la ecuación: $𝑧 3 + 𝑧 2 (5 𝑖 - 6) + 𝑧 (9 - 24 𝑖) + 18 + 13 𝑖 = 0 .$
Representar las soluciones.
¿Qué tipo de triángulo forman las soluciones?

Resolución

En primer lugar, desarrollamos la expresión del miembro derecho. $(𝑧 + 𝑖) (𝑎 𝑧 2 + 𝑏 𝑧 + 𝑐) = 𝑎 𝑧 3 + 𝑏 𝑧 2 + 𝑐 𝑧 + 𝑎 𝑖 𝑧 2 + 𝑏 𝑖 𝑧 + 𝑐 𝑖 = 𝑎 𝑧 3 + (𝑏 + 𝑎 𝑖) 𝑧 2 + (𝑐 + 𝑏 𝑖) 𝑧 + 𝑐 𝑖 .$ Así que: $𝑧 3 + 𝑧 2 (5 𝑖 - 6) + 𝑧 (9 - 24 𝑖) + 18 + 13 𝑖 = (𝑧 + 𝑖) (𝑎 𝑧 2 + 𝑏 𝑧 + 𝑐) \Leftrightarrow \Leftrightarrow 𝑧 3 + 𝑧 2 (5 𝑖 - 6) + 𝑧 (9 - 24 𝑖) + 18 + 13 𝑖 = 𝑎 𝑧 3 + (𝑏 + 𝑎 𝑖) 𝑧 2 + (𝑐 + 𝑏 𝑖) 𝑧 + 𝑐 𝑖 \Leftrightarrow \Leftrightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑎 = 1, 𝑏 + 𝑎 𝑖 = 5 𝑖 - 6, 𝑐 + 𝑏 𝑖 = 9 - 24 𝑖, 𝑐 𝑖 = 18 + 13 𝑖 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑎 = 1, 𝑏 = - 6 + 4 𝑖, 𝑐 = 13 - 18 𝑖 .$
Por el apartado anterior, podemos reescribir la ecuación. $𝑧 3 + 𝑧 2 (5 𝑖 - 6) + 𝑧 (9 - 24 𝑖) + 18 + 13 𝑖 = 0 \Leftrightarrow (𝑧 + 𝑖) (𝑧 2 + (- 6 + 4 𝑖) 𝑧 + 13 - 18 𝑖) = 0 \Leftrightarrow \Leftrightarrow {𝑧 + 𝑖 = 0 \Leftrightarrow 𝑧 = - 𝑖, 𝑧 2 + (- 6 + 4 𝑖) 𝑧 + 13 - 18 𝑖 = 0 .$ Resolvemos la ecuación de segundo grado. $𝑧 2 + (- 6 + 4 𝑖) 𝑧 + 13 - 18 𝑖 = 0 \Leftrightarrow 𝑧 = 6 - 4 𝑖 \pm \sqrt 20 - 48 𝑖 - 52 + 72 𝑖 2 = 3 - 2 𝑖 \pm \sqrt - 8 + 6 𝑖 .$ Para hallar la raíz cuadrada, escribimos el número en forma polar. $- 8 + 6 𝑖 = 10 𝛼, c o n 𝛼 = a r c c o s (- 45) .$ Luego una raíz cuadrada es: $\sqrt 10 𝛼 = \sqrt 10 𝛼 2 = \sqrt 10 c o s (𝛼 2) + 𝑖 \sqrt 10 s e n (𝛼 2) = \sqrt 10 \cdot \sqrt 1 + c o s (𝛼) 2 + 𝑖 \sqrt 10 \cdot \sqrt 1 - c o s (𝛼) 2 = = \sqrt 5 \cdot \sqrt 1 + c o s (𝛼) + 𝑖 \sqrt 5 \cdot \sqrt 1 - c o s (𝛼) = \sqrt 5 \cdot \sqrt 1 - 45 + 𝑖 \sqrt 5 \cdot \sqrt 1 + 45 = 1 + 3 𝑖 .$ Así que: $𝑧 2 + (- 6 + 4 𝑖) 𝑧 + 13 - 18 𝑖 = 0 \Leftrightarrow 𝑧 = 3 - 2 𝑖 \pm (1 + 3 𝑖) \Leftrightarrow {𝑧 = 2 - 5 𝑖, 𝑧 = 4 + 𝑖 .$ Por tanto, las soluciones de la ecuación son: $𝑧 1 = - 𝑖, 𝑧 2 = 2 - 5 𝑖, 𝑧 3 = 4 + 𝑖 .$
Representamos las soluciones en el plano complejo.
Calculamos las longitudes de los lados. $d i s t (𝑧 1, 𝑧 2) = | 𝑧 1 - 𝑧 2 | = | - 4 - 2 𝑖 | = \sqrt 42 + 22 = \sqrt 20 𝑢, d i s t (𝑧 1, 𝑧 3) = | 𝑧 1 - 𝑧 3 | = | - 2 + 4 𝑖 | = \sqrt 22 + 42 = \sqrt 20 𝑢, d i s t (𝑧 2, 𝑧 3) = | 𝑧 2 - 𝑧 3 | = | 2 + 6 𝑖 | = \sqrt 22 + 62 = \sqrt 40 𝑢 .$ Por tanto, se trata de un triángulo isósceles.

Problema 3: Examen de 2014 de Andalucía

Álgebra

Hallar la condición necesaria y suficiente para que el número $𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑐 + 𝑑 𝑥$ sea un número racional para todo $𝑥$ real (con $𝑐$ y $𝑑$ no nulos a la vez y siendo $𝑎$ , $𝑏$ , $𝑐$ y $𝑑$ racionales).

Problema 4: Examen de 2006 de Andalucía

Álgebra

Sea la matriz $𝑀 (𝑥) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑥 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ con $𝑥 \in ℝ .$ Sea $𝐴$ el conjunto de matrices de esta forma. Demostrar que $𝐴$ con el producto de matrices tiene estructura de grupo conmutativo.

Resolución

Sea $𝐴 = {𝑀 (𝑥) : 𝑥 \in ℝ} \subset M 3 \times 3 (ℝ) .$ Veamos que $(𝐴, \cdot)$ es un grupo conmutativo.

Veamos que $𝐴$ es cerrado para el producto. Sean $𝑀 (𝑥), 𝑀 (𝑦) \in 𝐴$ , $𝑀 (𝑥) \cdot 𝑀 (𝑦) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑥 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑦 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑥 + 𝑦 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝑀 (𝑥 + 𝑦) \in 𝐴 .$
La asociatividad del producto en $𝐴$ se hereda del producto de matrices.
Consideramos la matriz: $𝐼 = 𝑀 (0) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \in 𝐴 .$ La matriz $𝐼$ es el elemento neutro en $𝐴$ , heredado del producto de matrices.
Todo elemento de $𝐴$ tiene un inverso. Dada $𝑀 (𝑥) \in 𝐴$ , la matriz $𝑀 (- 𝑥)$ verifica que: $𝑀 (𝑥) \cdot 𝑀 (- 𝑥) = 𝑀 (- 𝑥) \cdot 𝑀 (𝑥) = 𝑀 (0) = 𝐼 .$
Veamos que el producto en $𝐴$ es conmutativo. Sean $𝑀 (𝑥), 𝑀 (𝑦) \in 𝐴$ , $𝑀 (𝑥) \cdot 𝑀 (𝑦) = 𝑀 (𝑥 + 𝑦) = 𝑀 (𝑦 + 𝑥) = 𝑀 (𝑦) \cdot 𝑀 (𝑥) .$

Por tanto, $(𝐴, \cdot)$ es un grupo conmutativo.

Problema 6: Examen de 2006 de Andalucía

Álgebra

Dado el determinante: $𝐷 𝑛 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 𝑥 2 𝑥 00 \dots 000 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 0 \dots 000 0 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 \dots 000 00 𝑥 1 + 𝑥 2 \dots 000 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0000 \dots 1 + 𝑥 2 𝑥 0 0000 \dots 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 0000 \dots 0 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .$ Calcular el polinomio en $𝑥$ ordenado en función de $𝑛$ que resulta de su desarrollo.

Resolución

En primer lugar, hallamos los determinantes de las primeras matrices. $| 𝐷 1 | = 1 + 𝑥 2, | 𝐷 2 | = ∣ 1 + 𝑥 2 𝑥 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ = (1 + 𝑥 2) 2 - 𝑥 2 = 1 + 2 𝑥 2 + 𝑥 4 - 𝑥 2 = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4, | 𝐷 3 | = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 𝑥 2 𝑥 0 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 0 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ ∣ ∣ ∣ = (1 + 𝑥 2) 3 - 2 𝑥 2 (1 + 𝑥 2) = 1 + 3 𝑥 2 + 3 𝑥 4 + 𝑥 6 - 2 𝑥 2 - 2 𝑥 4 = = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 .$ Veamos que $𝐷 𝑛 = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛$ para todo $𝑛 \in ℕ$ por inducción.

Si $𝑛 = 1$ , se verifica que $𝐷 1 = 1 + 𝑥 2$ .
Supongamos que la igualdad se verifica hasta $𝑛$ y veamos que es cierta para $𝑛 + 1$ . $𝐷 𝑛 + 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 𝑥 2 𝑥 00 \dots 00 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 0 \dots 00 0 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 \dots 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0000 \dots 1 + 𝑥 2 𝑥 0000 \dots 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f i l a 1 = = (1 + 𝑥 2) 𝐷 𝑛 - 𝑥 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑥 𝑥 0 \dots 00 0 1 + 𝑥 2 𝑥 \dots 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 000 \dots 1 + 𝑥 2 𝑥 000 \dots 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ c o l u m n a 1 = (1 + 𝑥 2) 𝐷 𝑛 - 𝑥 2 𝐷 𝑛 - 1 = = (1 + 𝑥 2) (1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛) - 𝑥 2 (1 + 𝑥 2 + \dots + 𝑥 2 𝑛 - 2) = = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 + \dots + 𝑥 2 𝑛 + 𝑥 2 𝑛 + 2 - 𝑥 2 - 𝑥 4 - 𝑥 6 - \dots - 𝑥 2 𝑛 = = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛 + 𝑥 2 (𝑛 + 1) .$

Por tanto, $𝐷 𝑛 = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛, 𝑛 \in ℕ .$

Problema 7: Examen de 2006 de Andalucía

Álgebra

Sean $𝑘, 𝑝, 𝑛 \in ℕ$ , con $0 \leq 𝑘 \leq 𝑝 \leq 𝑛 .$

Demostrar: $(𝑛 𝑘) (𝑛 - 𝑘 𝑝 - 𝑘) = (𝑝 𝑘) (𝑛 𝑝) .$
Demostrar: $(𝑛 0) (𝑛 𝑝) + (𝑛 1) (𝑛 - 1 𝑝 - 1) + (𝑛 2) (𝑛 - 2 𝑝 - 2) + \dots + (𝑛 𝑝) (𝑛 - 𝑝 0) = 2 𝑝 (𝑛 𝑝) .$

Resolución

Desarrollamos la primera expresión. $(𝑛 𝑘) (𝑛 - 𝑘 𝑝 - 𝑘) = 𝑛! 𝑘! (𝑛 - 𝑘)! \cdot (𝑛 - 𝑘)! (𝑝 - 𝑘)! (𝑛 - 𝑝)! = 𝑛! 𝑘! (𝑝 - 𝑘)! (𝑛 - 𝑝)! = 𝑛! \cdot 𝑝! 𝑘! (𝑝 - 𝑘)! (𝑛 - 𝑝)! \cdot 𝑝! = = 𝑝! 𝑘! (𝑝 - 𝑘)! \cdot 𝑛! 𝑝! (𝑛 - 𝑝)! = (𝑝 𝑘) (𝑛 𝑝) .$
Reescribimos la primera expresión utilizando la igualdad del apartado anterior. $(𝑛 0) (𝑛 𝑝) + (𝑛 1) (𝑛 - 1 𝑝 - 1) + \dots + (𝑛 𝑝) (𝑛 - 𝑝 0) = 𝑝 \sum 𝑘 = 0 (𝑛 𝑘) (𝑛 - 𝑘 𝑝 - 𝑘) (a) = 𝑝 \sum 𝑘 = 0 (𝑝 𝑘) (𝑛 𝑝) = (𝑛 𝑝) 𝑝 \sum 𝑘 = 0 (𝑝 𝑘) = = (𝑛 𝑝) (1 + 1) 𝑝 = 2 𝑝 (𝑛 𝑝) .$

Problema 4: Examen de 2000 de Andalucía

Álgebra

Resolver las siguientes cuestiones de divisibilidad:

En una batalla en la que participan entre 10.000 y 11.000 soldados, resultaron muertos $23165$ y heridos $35143$ del total. Hallar cuántos soldados resultaron ilesos.
Hallar el número $𝑁 = 2 𝑎 5 𝑏$ sabiendo que la suma de todos sus divisores es $961 .$

Resolución

Sea $n \in \mathbb{N}$ el número de soldados, con $10.000 \leq n \leq 11.000.$
- $23165 𝑛$ soldados resultaron muertos, así que $23165 𝑛 \in ℕ .$ Luego $𝑛$ es múltiplo de 165.
- $35143 𝑛$ soldados resultaron heridos, así que $35143 𝑛 \in ℕ .$ Luego $𝑛$ es múltiplo de 143.
Hallamos el mínimo común múltiplo de 165 y 143. $\begin{cases} 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11, \\ 143 = 11 \cdot 13 \end{cases} \Rightarrow \operatorname{mcm}(165, 143) = 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 = 2.145.$ Así que $n$ es múltiplo de 2.145. Sus primeros múltiplos son: $2.145, \quad 4.290, \quad 6.435, \quad 8.580, \quad 10.725, \quad 12.870.$ Como $10.000 \leq n \leq 11.000$ , necesariamente $n = 10.725.$ Calculamos el número de soldados muertos y heridos.
- Resultaron muertos $23165 \cdot 10.725 = 1.495$ soldados.
- Resultaron heridos $35143 \cdot 10.725 = 2.625$ soldados.
Por tanto, resultaron ilesos: $10.725 - 1.495 - 2.625 = 6.605.$
Sea $𝑁 = 2 𝑎 \cdot 5 𝑏 .$ Los divisores de $𝑁$ son de la forma $2 𝑟 \cdot 5 𝑠$ , con $0 \leq 𝑟 \leq 𝑎$ y $0 \leq 𝑠 \leq 𝑏 .$ La suma de todos los divisores viene dada por: $\sum 0 \leq 𝑟 \leq 𝑎 0 \leq 𝑠 \leq 𝑏 2 𝑟 \cdot 5 𝑠 = 𝑏 \sum 𝑠 = 0 𝑎 \sum 𝑟 = 0 2 𝑟 \cdot 5 𝑠 = (𝑎 \sum 𝑟 = 0 2 𝑟) \cdot (𝑏 \sum 𝑠 = 0 5 𝑠) = (2 𝑎 + 1 - 1) \cdot 5 𝑏 + 1 - 1 4 = 14 (2 𝑎 + 1 - 1) (5 𝑏 + 1 - 1) .$ La suma los divisores es 961, así que: $\sum 0 \leq 𝑟 \leq 𝑎 0 \leq 𝑠 \leq 𝑏 2 𝑟 \cdot 5 𝑠 = 961 \Leftrightarrow 14 (2 𝑎 + 1 - 1) (5 𝑏 + 1 - 1) = 961 \Leftrightarrow (2 𝑎 + 1 - 1) (5 𝑏 + 1 - 1) = 3.844 = 22 \cdot 312 = 31 \cdot 124 \Leftrightarrow \Leftrightarrow {2 𝑎 + 1 - 1 = 31 \Leftrightarrow 2 𝑎 + 1 = 32 \Leftrightarrow 𝑎 + 1 = 5 \Leftrightarrow 𝑎 = 4, 5 𝑏 + 1 - 1 = 124 \Leftrightarrow 5 𝑏 + 1 = 125 \Leftrightarrow 𝑏 + 1 = 3 \Leftrightarrow 𝑏 = 2 .$ Por tanto, $𝑁 = 24 \cdot 52 = 400 .$

Problema 1: Examen de 2018 de Aragón

Álgebra

Sean $𝑉$ un $𝕂$ -espacio vectorial, donde $𝕂$ es un cuerpo de característica distinta de $2$ , y $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉$ una aplicación lineal tal que $𝑓 2 = I d .$ Sean $𝑉 1 = {𝑥 \in 𝑉 : 𝑓 (𝑥) = 𝑥} y 𝑉 2 = {𝑥 \in 𝑉 : 𝑓 (𝑥) = - 𝑥} .$ Demuestre que $𝑉 = 𝑉 1 \oplus 𝑉 2 .$ ¿Significa esto que para todo $𝑣 \in 𝑉$ se cumple que $𝑓 (𝑣) = 𝑣$ o bien $𝑓 (𝑣) = - 𝑣$ ?

Nota: $𝑓 2 = 𝑓 \circ 𝑓 = i d$ es el endomorfismo identidad.

Problema 5: Examen de 2018 de Aragón

Álgebra

Sea $𝑘$ un número natural no nulo y sea $𝑓$ la función real de variable real dada por $𝑓 (𝑥) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (11) 00 \dots 0 𝑥 (21) (22) 0 \dots 0 𝑥 2 (31) (32) (33) \dots 0 𝑥 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ (𝑘 1) (𝑘 2) (𝑘 3) \dots (𝑘 𝑘) 𝑥 𝑘 (𝑘 + 1 1) (𝑘 + 1 2) (𝑘 + 1 3) \dots (𝑘 + 1 𝑘) 𝑥 𝑘 + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣$

Calcule $𝑓 (𝑥 + 1) - 𝑓 (𝑥) .$
Para cada $𝑛 \in ℕ +$ , exprese mediante esta función la suma $1 𝑘 + 2 𝑘 + \dots + 𝑛 𝑘 .$

Problema 2: Examen de 2014 de Aragón

Álgebra

Calcule el valor del siguiente determinante de orden $𝑛 \in ℕ$ : $𝐴 𝑛 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1! 100 \dots 0 1 2! 1 1! 10 \dots 0 1 3! 1 2! 1 1! 1 \dots 0 1 4! 1 3! 1 2! 1 1! \dots 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑛! 1 (𝑛 - 1)! 1 (𝑛 - 2)! 1 (𝑛 - 3)! \dots 1 1! ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .$

Problema 1: Examen de 2004 de Aragón

Álgebra

Hallar el menor número natural $𝑚$ tal que la ecuación $533 𝑥 + 299 𝑦 = 20000 + 𝑚$ tenga solución entera y calcular ésta.

Problema 2: Examen de 2018 de Asturias

Álgebra

Se define un número perfecto como aquel número entero positivo que es igual a la suma de todos sus divisores positivos excepto él mismo.

Demuestre que los números pares perfectos son de la forma $2 𝑘 - 1 \cdot (2 𝑘 - 1)$ donde $2 𝑘 - 1$ es un número primo y $𝑘 > 1 .$
Demuestre que si $2 𝑘 - 1$ es un número primo entonces $𝑘$ también lo es.
Demuestre que los números pares perfectos terminan en 6 u 8.
Demuestre que la suma de los inversos de los divisores positivos de un número perfecto par es 2.

Problema 6: Examen de 2018 de Cantabria

Álgebra

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones, que son independientes entre sí:

En una batalla en la que participaron entre 8.000 y 10.000 soldados resultaron muertos $23165$ del total y heridos $1665$ del total. Calcule cuántos resultaron ilesos.
Halle el número $2 𝑛 \cdot 3 𝑚$ sabiendo que la suma de todos sus divisores es igual a 363.

Resolución

Sea $n \in \mathbb{N}$ el número de soldados, con $8.000 \leq n \leq 10.000.$
- $23165 𝑛$ soldados resultaron muertos, así que $23165 𝑛 \in ℕ .$ Luego $𝑛$ es múltiplo de 165.
- $1665 𝑛$ soldados resultaron heridos, así que $1665 𝑛 \in ℕ .$ Luego $𝑛$ es múltiplo de 65.
Hallamos el mínimo común múltiplo de 165 y 65. $\begin{cases} 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11, \\ 65 = 5 \cdot 13 \end{cases} \Rightarrow \operatorname{mcm}(165, 65) = 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13 = 2.145.$ Así que $n$ es múltiplo de 2.145. Sus primeros múltiplos son: $2.145, \quad 4.290, \quad 6.435, \quad 8.580, \quad 10.725.$ Como $8.000 \leq n \leq 10.000$ , necesariamente $n = 8.580.$ Calculamos el número de soldados muertos y heridos.
- Resultaron muertos $23165 \cdot 8.580 = 1.196$ soldados.
- Resultaron heridos $1665 \cdot 8.580 = 2.112$ soldados.
Por tanto, resultaron ilesos: $8.580 - 1.196 - 2.112 = 5.272.$
Sea $𝑁 = 2 𝑛 \cdot 3 𝑚 .$ Los divisores de $𝑁$ son de la forma $2 𝑟 \cdot 3 𝑠$ , con $0 \leq 𝑟 \leq 𝑛$ y $0 \leq 𝑠 \leq 𝑚 .$ La suma de todos los divisores viene dada por: $\sum 0 \leq 𝑟 \leq 𝑛 0 \leq 𝑠 \leq 𝑚 2 𝑟 \cdot 3 𝑠 = 𝑚 \sum 𝑠 = 0 𝑛 \sum 𝑟 = 0 2 𝑟 \cdot 3 𝑠 = (𝑛 \sum 𝑟 = 0 2 𝑟) \cdot (𝑚 \sum 𝑠 = 0 3 𝑠) = (2 𝑛 + 1 - 1) \cdot 3 𝑚 + 1 - 1 2 = 12 (2 𝑛 + 1 - 1) (3 𝑚 + 1 - 1) .$ La suma los divisores es 363, así que: $\sum 0 \leq 𝑟 \leq 𝑛 0 \leq 𝑠 \leq 𝑚 2 𝑟 \cdot 3 𝑠 = 363 \Leftrightarrow 12 (2 𝑛 + 1 - 1) (3 𝑚 + 1 - 1) = 363 \Leftrightarrow (2 𝑛 + 1 - 1) (3 𝑚 + 1 - 1) = 726 = 2 \cdot 3 \cdot 112 = 3 \cdot 242 \Leftrightarrow \Leftrightarrow {2 𝑛 + 1 - 1 = 3 \Leftrightarrow 2 𝑛 + 1 = 4 \Leftrightarrow 𝑛 + 1 = 2 \Leftrightarrow 𝑛 = 1, 3 𝑚 + 1 - 1 = 242 \Leftrightarrow 3 𝑚 + 1 = 243 \Leftrightarrow 𝑚 + 1 = 5 \Leftrightarrow 𝑚 = 4 .$ Por tanto, $𝑁 = 2 \cdot 34 = 162 .$

Problema 11: Examen de 2018 de Cantabria

Álgebra

Si $𝜉 1$ , $𝜉 2$ , $𝜉 3$ , $𝜉 4$ y $𝜉 5$ son las raíces quintas de la unidad y $𝑛 \in ℕ$ , estudie qué valores toma la suma $𝑆 = 𝜉 𝑛 1 + 𝜉 𝑛 2 + 𝜉 𝑛 3 + 𝜉 𝑛 4 + 𝜉 𝑛 5 .$

Problema 1: Examen de 2016 de Cantabria

Álgebra

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

Dadas las matrices: $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0000200022002200 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, 𝐵 = 𝐼 + 𝐴$ y un número entero positivo $𝑛$ , calcule $𝐴 𝑛$ y demuestre que la inversa de $𝐵$ es la matriz $𝐼 - 𝐴 + 𝐴 2$ , donde $𝐼$ es la matriz identidad de orden $4 .$
Sea $𝑃$ un polinomio de grado $𝑛 \geq 1$ con coeficientes reales tal que para cierto $𝑎 \in ℝ$ es $𝑃 (𝑘) (𝑎) > 0$ para $0 \leq 𝑘 \leq 𝑛$ , donde entendemos $𝑃 (0) = 𝑃 .$ Demuestre que $𝑎$ acota superiormente a todas las raíces reales de $𝑃 .$

Problema 6: Examen de 2016 de Cantabria

Álgebra

Resuelva, en el campo $ℂ$ de los números complejos, la ecuación $5 t g (𝑧) = 2 s e n 2 (𝑧) + 3 c o s 2 (𝑧) .$

Problema 1: Examen de 2018 de Castilla la Mancha

Álgebra

Demuestre que todos los términos de la sucesión ${𝑎 𝑛}$ son múltiplos de 600, donde $𝑎 𝑛 = (𝑛 2 - 1) (𝑛 2 + 1) (𝑛 4 - 16) 𝑛 2 .$

Problema 2: Examen de 2015 de Castilla la Mancha

Álgebra

Demuestre la veracidad o falsedad del siguiente enunciado: Para todo $𝑛 \in ℕ$ se puede encontrar un conjunto de $𝑛$ números naturales consecutivos que no contiene a ningún número primo.

Problema 1: Examen de 2025 de Castilla y León

Álgebra

Sea $𝑃 3$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3. Sean $𝑆 1 = {1 + 𝑥, 1 - 𝑥 2}, 𝑆 2 = {1, 1 - 𝑥, 𝑥 3}$ dos subespacios de $𝑃 3$ y $𝐿 1$ y $𝐿 2$ sus sistemas generadores.

Hallar una base de $𝐿 1 \cap 𝐿 2$ .
Sea $𝑓 : 𝑃 3 \to 𝑃 3$ un endomorfismo dado por: $𝑓 (𝑝 (𝑥)) = 𝑥 𝑝 (𝑥) + 𝑘 𝑥 2 𝑝 ″ (𝑥) .$ Hallar la matriz de $𝑓$ en la base canónica y los valores de $𝑘$ para los que la dimensión de $K e r (𝑓) > 1$ .
Obtener una base de $K e r (𝑓)$ para los valores de $𝑘$ obtenidos.

Problema 1: Examen de 2018 de Castilla y León

Álgebra

Halle el número de $𝑛$ -uplas $(𝑎 1, \dots, 𝑎 𝑛)$ cuyas componentes son números enteros $𝑎 𝑖$ positivos y que satisfacen las tres ecuaciones siguientes: $𝑛 \sum 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 = 26, 𝑛 \sum 𝑖 = 1 𝑎 2 𝑖 = 72 y 𝑛 \sum 𝑖 = 1 𝑎 3 𝑖 = 224 .$

Problema 1: Examen de 2015 de Castilla y León

Álgebra

Sea $𝑇$ la transformación lineal del espacio vectorial tridimensional $ℝ 3$ que cumple las siguientes condiciones (referidas a la base canónica de $ℝ 3$ ):

La restricción de $𝑇$ al subespacio $𝑈 : 𝑥 + 𝑦 - 𝑧 = 0$ es una homotecia de razón 4.
$𝑇$ transforma el subespacio $𝑉$ ${2 𝑥 + 4 𝑦 + 3 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0$ en sí mismo.
$𝑇 (3, 0, - 1) = (6, - 6, 8)$ .

Determine la matriz de la transformación

𝑇

en la base canónica de

ℝ 3

Problema 2: Examen de 2018 de Cataluña

Álgebra

Indique justificadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

$𝜋$ es un número irracional porque no es solución de ninguna ecuación.
$𝜋$ es un número irracional porque no se puede escribir como una fracción de números enteros.
$𝜋$ es un número irracional porque no se puede escribir como una fracción de números primos.
Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta.

Problema 5: Examen de 2018 de Cataluña

Álgebra

Sean $𝐸$ y $𝐹$ espacios vectoriales, $𝑆$ un subespacio vectorial de $𝐸$ , $𝑓 : 𝐸 \to 𝐹$ una aplicación lineal y $𝑔 = 𝑓 | 𝑆 : 𝑆 \to 𝐹$ su restricción a $𝑆 .$ ¿Cuál de las siguientes respuestas es correcta?

$I m 𝑓 = I m 𝑔 .$
$K e r 𝑓 = K e r 𝑔 .$
$K e r 𝑔 = 𝑆 \cap K e r 𝑓 .$
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Problema 7: Examen de 2018 de Cataluña

Álgebra

Tres amigos quieren hacer un muñeco de nieve apilando esferas. Con el objetivo de hacer un muñeco lo más alto posible, Marta dice: Hagamos el muñeco de dos bolas para que sea más alto. Bernardo responde: No, lo hemos de hacer de diez bolas y será más alto. Por su parte, Juana dice: Yo creo que la altura no cambia con el número de bolas, por lo que propongo hacerlo de seis bolas. Asumiendo que los tres disponen de la misma cantidad de nieve y que las bolas no se aplastarán ni caerán, ¿cuál de ellos tiene razón?

Problema 10: Examen de 2018 de Cataluña

Álgebra

Dado un conjunto $𝑋$ se consideran el conjunto $P (𝑋)$ formado por los subconjuntos de $𝑋$ y las operaciones en $P (𝑋)$ definidas mediante: $(𝐴, 𝐵) \mapsto 𝐴 △ 𝐵 = (𝐴 \cup 𝐵) ∖ (𝐴 \cap 𝐵), (𝐴, 𝐵) \mapsto 𝐴 * 𝐵 = 𝐴 \cap 𝐵 .$

Demuestre que $(P (𝑋), △, *)$ es un anillo conmutativo tomando $△$ como suma y $*$ como producto.
Calcule todos los elementos invertibles de este anillo.
Demuestre que todos los elementos de este anillo son idempotentes, es decir, se cumple que $𝐴 2 = 𝐴$ para cada $𝐴 \in P (𝑋) .$
Demuestre que $2 𝐴 = 0$ para cada $𝐴 \in P (𝑋)$ , donde $0$ es el elemento neutro para la suma en este anillo.
Demuestre que si $𝐴, 𝐵 \in P (𝑋)$ entonces el ideal generado por $𝐴$ y $𝐵$ también está generado por $𝐴 \cup 𝐵 .$ Deduzca que todos los ideales finitamente generados de este anillo son principales.

Problema 5: Examen de 2005 de Cataluña

Álgebra

Sea $𝑝$ un número primo. Demostrar que $𝑛 𝑝 \equiv 𝑛$ (mod $𝑝$ ) para todo $𝑛 \in ℕ$ .

Problema 6: Examen de 2005 de Cataluña

Álgebra

Demostrar que para todo número natural $𝑛 \geq 1$ se cumple que $4 𝑛 + 1 + 5 2 𝑛 - 1$ es múltiplo de $21$ .

Problema 7: Examen de 2005 de Cataluña

Álgebra

Sea $𝑛$ un número entero positivo.

Demostrar que el número $3 𝑛 - 2 𝑛 2 - 1$ es múltiplo de $8$ .
Probar que si $𝑛$ no es múltiplo de $3$ , entonces $3 𝑛 - 2 𝑛 2 - 1$ es múltiplo de $24$ .

Problema 2: Examen de 2018 de Ceuta

Álgebra

Demuestre que para todo número natural positivo $𝑛$ , el número entero $𝑎 𝑛 = 4 𝑛 + 1 + 5 2 𝑛 - 1$ es múltiplo de 21.

Problema 4: Examen de 2018 de Ceuta

Álgebra

Se considera la aplicación lineal $𝑓 : ℝ 3 \to ℝ 3$ definida por $𝑓 (𝑒 1) = 𝑒 2 + 𝑒 3, 𝑓 (𝑒 2) = 𝑒 1 + 𝑒 3, y 𝑓 (𝑒 3) = 𝑒 1 + 𝑒 2,$ siendo $B = {𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3}$ la base canónica de $ℝ 3 .$

Calcule la matriz asociada a $𝑓$ respecto de $B$ y analice si esta aplicación lineal es o no inyectiva.
Pruebe que para todo $𝑛 \in ℕ$ se cumple que $𝑓 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑓 + 𝑏 𝑛 i d$ donde $𝑎 𝑛$ y $𝑏 𝑛$ son números reales a determinar e $I d : ℝ 3 \to ℝ 3$ es la identidad de $ℝ 3 .$

Problema 1: Examen de 2016 de Ceuta

Álgebra

Resuelve la siguiente ecuación en $ℝ$ , conocido $𝛼 \in ℝ$ : $(1 + 𝑖 𝑥 1 - 𝑖 𝑥) 4 = 1 + 𝑖 t g (𝛼 2) 1 - 𝑖 t g (𝛼 2)$

Problema 2: Examen de 2016 de Ceuta

Álgebra

Se considera la aplicación $𝑓 : ℝ 3 \to ℝ 3$ definida por $𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 - 4 𝑦, - 𝑦, 2 𝑦 + 𝑧) .$

Demuestre que $𝑓$ es un endomorfismo del espacio vectorial $ℝ 3$ .
Determine la expresión matricial de $𝑓$ respecto de la base canónica de $ℝ 3$ .
Calcule el núcleo y la imagen de $𝑓$ .
Calcule los valores propios de $𝑓$ y los subespacios de vectores propios asociados.
Determine si la matriz $𝐴$ asociada a la aplicación lineal $𝑓$ en la base canónica es diagonalizable y, en caso afirmativo, calcule una matriz diagonal semejante a $𝐴$ y una matriz de paso correspondientes.
Calcule la matriz $𝐴 9$ .

Problema 4: Examen de 2014 de Ceuta

Álgebra

Sea $𝑓$ un endomorfismo de un espacio vectorial $𝑉$ finitamente generado sobre un cuerpo $𝐾$ . Para cada autovalor $𝜆 \in 𝐾$ de $𝑓$ y cada $𝑝 \in ℕ$ se considera el subespacio $𝐸 𝑝 (𝜆) = K e r (𝑓 - 𝜆 𝑖) 𝑝$ , donde $𝑖$ es el endomorfismo idéntico de $𝑉$ y $(𝑓 - 𝜆 𝑖) 𝑝$ es la composición del endomorfismo $𝑓 - 𝜆 𝑖$ consigo mismo $𝑝$ veces. Demuestre que si $𝜆$ es autovalor de $𝑓$ , entonces:

$𝑓 (𝐸 𝑝 (𝜆)) \subset 𝐸 𝑝 (𝜆)$ , para cada $𝑝 \in ℕ$ .
$(𝑓 - 𝜆 𝑖) (𝐸 𝑝 (𝜆)) \subset 𝐸 𝑝 - 1 (𝜆)$ , para cada $𝑝 \in ℕ$ , $𝑝 \geq 2$ .
La sucesión $𝐸 𝑝 (𝜆)$ es creciente respecto de la inclusión $\subset$ de conjuntos.
La sucesión $𝐸 𝑝 (𝜆)$ es constante a partir de cierto término.

Problema 2: Examen de 2018 de Extremadura

Álgebra

Estando en Estados Unidos, el Sr. Martínez cambió un cheque de viaje. El cajero, al pagarle, confundió el número de dólares con el de centavos y viceversa. El Sr. Martínez gastó 68 centavos en sellos y comprobó que el dinero que le quedaba era el doble del cheque de viaje que había cambiado. ¿Qué valor mínimo tenía el cheque?

Problema 1: Examen de 2015 de Extremadura

Álgebra

Sea $M ℂ$ el conjunto de todas las matrices $2 \times 2$ de la forma $𝑀 (𝑎, 𝑏) = (𝑎 - 𝑏 𝑏 𝑎), (𝑎, 𝑏 \in ℝ) .$

Demuestre que $M ℂ$ tiene estructura algebraica de cuerpo conmutativo con las operaciones usuales de suma y producto de matrices.
Demuestre que $M ℂ$ es isomorfo al cuerpo $ℂ$ de los números complejos, hallando el isomorfismo $𝑓 : ℂ \to M ℂ$ correspondiente.
Utilizando el isomorfismo definido anteriormente, calcule $4 \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt ⎷ (12 - \sqrt 3 2 \sqrt 3 2 12) .$

Problema 2: Examen de 2024 de Galicia

Álgebra

Encontrar todas las soluciones de la ecuación $3 \sqrt 5 𝑥 - 2 = 𝑥 3 + 2 5 .$

Resolución

Las posibles soluciones de la ecuación son los puntos de corte de las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ dadas por: $𝑓 (𝑥) = 3 \sqrt 5 𝑥 - 2 y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 3 + 2 5 .$

Veamos que $𝑔 (𝑥)$ tiene función inversa. Observamos que: $𝑔' (𝑥) = 3 𝑥 2 5 \geq 0 p a r a t o d o 𝑥 \in ℝ .$ Así que $𝑔$ es una función estríctamente creciente en $ℝ$ y continua, luego inyectiva. Además, observamos que: $l í m 𝑥 \to + \infty 𝑔 (𝑥) = + \infty, l í m 𝑥 \to - \infty 𝑔 (𝑥) = - \infty .$ Luego $𝑔$ es sobreyectiva, así que es biyectiva y tiene inversa.

Hallamos la función inversa de $𝑔$ . $𝑥 = 𝑦 3 + 2 5 \Leftrightarrow 5 𝑥 = 𝑦 3 + 2 \Leftrightarrow 𝑦 3 = 5 𝑥 - 2 \Leftrightarrow 𝑦 = 3 \sqrt 5 𝑥 - 2 .$ Observamos que $𝑔 - 1 = 𝑓$ .

Una función y su inversa son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Por tanto, los puntos de corte de $𝑓$ y $𝑔$ son los puntos de corte de las mismas con la bisectriz. De esta forma, resolver la ecuación original equivale a resolver la ecuación: $𝑥 3 + 2 5 = 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 3 - 5 𝑥 + 2 = 0 \Leftrightarrow (𝑥 - 2) (𝑥 2 + 2 𝑥 - 1) = 0 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 = 2, 𝑥 2 + 2 𝑥 - 1 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 1 + \sqrt 2, 𝑥 = - 1 - \sqrt 2 .$

Problema 3: Examen de 2024 de Galicia

Álgebra

Tres personas naufragan en una isla desierta en la que vive un mono. Estas personas pasan todo el primer día recogiendo cocos. Por la noche una de ellas despierta y, desconfiada, decide separar su parte. Divide los cocos en 3 montones, toma su parte y la oculta. Como sobra un coco, se lo da al mono. Poco después una 2ª persona despierta y hace lo mismo con los cocos que aún quedan en el montón común. Al dividir los cocos en 3 montones vuelve a sobrar un coco que se lo da al mono y también oculta su parte. Por último, la tercera persona hace lo mismo, es decir, divide también los cocos en 3 montones, vuelve a sobrar un coco y también se lo da al mono y también oculta su parte. Al día siguiente por la mañana, dividen los cocos que no ocultaron en 3 partes sin que sobre ninguno. Sabiendo que el número de cocos que recogieron durante el día fue mayor que 200 pero menor que 300, ¿cuántos cocos recogieron inicialmente? ¿Cuántos se quedaron en total cada uno de ellos?

Resolución

Sea $𝑁$ el número de cocos buscado.

La primera persona oculta $𝑁 - 1 3$ , deja en el montón $𝑀 = 2 (𝑁 - 1) 3$ y le da un coco al mono.
La segunda persona oculta $𝑀 - 1 3$ , deja en el montón $𝑃 = 2 (𝑀 - 1) 3$ y le da un coco al mono.
La tercera persona oculta $𝑃 - 1 3$ , deja en el montón $𝑄 = 2 (𝑃 - 1) 3$ y le da un coco al mono.

Por hipótesis, $𝑄$ es múltiplo de 3, luego $𝑄 = 3 𝑘$ para algún $𝑘 \in ℤ$ . Buscamos expresar $𝑁$ en función de $𝑘$ . $2 (𝑃 - 1) 3 = 𝑄 = 3 𝑘 \Rightarrow 𝑃 = 9 𝑘 2 + 1, 2 (𝑀 - 1) 3 = 𝑃 = 9 𝑘 2 + 1 \Rightarrow 𝑀 = 27 𝑘 4 + 52, 2 (𝑁 - 1) 3 = 𝑀 = 27 𝑘 4 + 52 \Rightarrow 𝑁 = 81 𝑘 8 + 194 .$ Por hipótesis, $𝑁 \in ℤ$ y es tal que $200 < 𝑁 < 300$ , luego: $200 < 81 𝑘 8 + 194 < 300 \Leftrightarrow 20 \leq 𝑘 \leq 29 .$ Como $𝑘 \in ℤ$ , los posibles valores de $𝑘$ son $20, 21, \dots, 29$ . Además, dado que $𝑁 \in ℤ$ , entonces: $81 𝑘 8 + 194 \in ℤ \Leftrightarrow 81 𝑘 + 38 \equiv 0 (m o d 8) \Leftrightarrow 𝑘 \equiv 2 (m o d 8) .$ Luego el único valor de $𝑘$ que cumple las condiciones pedidas es $𝑘 = 26$ . Por tanto, el número inicial de cocos es $𝑁 = 81 \cdot 26 8 + 194 = 268 .$

La primera persona se ha quedado $𝑁 - 1 3 + 𝑄 3 = 115$ cocos.
La segunda persona se ha quedado $𝑀 - 1 3 + 𝑄 3 = 85$ cocos.
La tercera persona se ha quedado $𝑃 - 1 3 + 𝑄 3 = 65$ cocos.

Problema 5: Examen de 2024 de Galicia

Álgebra

Sea $𝑃 𝑛$ la sucesión de polinomios dada por: $𝑃 𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 + 2 - 2 𝑥 + 1, 𝑛 = 1, 2, \dots$

Compruebe que todos los polinomios de la sucesión tienen un cero común.
Demostrar que cada polinomio de la sucesión tiene como mucho un cero en el intervalo $(0, 1)$ .
Demostrar que cada polinomio de la sucesión tiene un cero en el intervalo $(0, 1)$ .
Sea ${𝑥 𝑛 : 𝑛 \in ℕ}$ la sucesión formada por los ceros de $𝑃 𝑛$ en $(0, 1)$ . Demostrar que converge. Nota: Representar gráficamente $𝑦 = 𝑃 𝑛 (𝑥)$ .
Calcular $l í m 𝑛 \to \infty 𝑥 𝑛$ .

Problema 2: Examen de 2018 de Galicia

Álgebra

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

En una división se conocen el dividendo 258.728 y los restos sucesivos que se obtuvieron al ir efectuando la división, que son 379, 480 y 392. Hallar el divisor y el cociente. ¿Existe más de una solución?
Justifique la relación de este problema con el currículo de una materia de esta especialidad.

Problema 4: Examen de 2018 de Galicia

Álgebra

El conjunto $𝐹$ formado por las funciones $𝑓 : [0, 1] \to ℝ$ dotado con las operaciones: $(𝑓 + 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥) y (𝑓 \cdot 𝑔) (𝑥) = 𝑓 (𝑥) \cdot 𝑔 (𝑥)$ es un anillo conmutativo y unitario. Consideremos un subanillo $𝐴$ de $𝐹$ que contiene a las funciones constantes y para cada $𝑥 \in [0, 1]$ consideramos la función evaluación en $𝑥$ definida por $e v 𝑥 : 𝐴 \to ℝ, 𝑓 \mapsto 𝑓 (𝑥) .$

Pruebe que para cada $𝑥 \in [0, 1]$ el núcleo $K e r e v 𝑥$ es un ideal maximal de $𝐴 .$
¿Es cierto que para cada ideal maximal $𝑚$ de $𝐴$ existe un punto $𝑥 \in [0, 1]$ tal que $𝑚 = K e r e v 𝑥$ ? En caso afirmativo, demuéstrese y en caso negativo búsquese un ejemplo que lo avale.

Problema 7: Examen de 2018 de Galicia

Álgebra

Una persona ha comprado entradas para el cine para personas adultas a 640 unidades monetarias cada una y para menores de edad a 330 unidades monetarias cada una. Sabiendo que invirtió 7.140 unidades monetarias en la compra y que compró menos entradas de adultos que de menores, halle el número de entradas de cada tipo que adquirió.

Problema 4: Examen de 2017 de Galicia

Álgebra

Sea $ℝ 3 [𝑥]$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales y sea $B 1 = {1, 𝑥, 𝑥 2, 𝑥 3}$ la base canónica de $ℝ 3 [𝑥] .$ Se consideran los subespacios vectoriales $𝑈 1 = L {𝑥 2 + 2 𝑥, - 𝑥 2 + 𝑥, 𝑥 2 + 𝑥}, 𝑈 2 = {𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 2 + 𝑑 𝑥 3 \in ℝ 3 [𝑥] : 𝑏 + 𝑐 = 0, 2 𝑏 - 𝑐 = 0}, 𝑈 3 = {𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 𝑥 2 + 𝑑 𝑥 3 \in ℝ 3 [𝑥] : 𝑎 = 0, 𝑏 = - 𝛽, 𝑐 = 0, 𝑑 = 𝛼 + 𝛽, 𝛼, 𝛽 \in ℝ} .$

Calcule $𝑈 1 \cap 𝑈 2$ y $𝑈 1 + 𝑈 2 .$ ¿Son $𝑈 1$ y $𝑈 2$ suplementarios?
Calcule unas ecuaciones cartesianas respecto de la base $B 1$ de $𝑈 1$ y $𝑈 2 .$
Encuentre una aplicación lineal $ℎ : ℝ 3 [𝑥] \to ℝ 4$ cuyo núcleo sea $𝑈 1 .$
Halle la matriz de la aplicación lineal anterior respecto de las bases $B 1$ y $B 2 = {𝑢 1 = (1, 0, 0, 0), 𝑢 2 = (1, 1, 0, 0), 𝑢 3 = (1, 1, 1, 0), 𝑢 4 = (1, 1, 1, 1)} .$
¿Es la matriz hallada en el apartado anterior equivalente a la matriz $𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3421100031110001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ?$

Problema 3: Examen de 2016 de Galicia

Álgebra

En el espacio vectorial $C \infty (ℝ)$ de las funciones $𝑓 : ℝ \to ℝ$ que son infinitamente derivables, se considera el endomorfismo $𝑃$ de $C \infty (ℝ)$ definido por: $𝑃 (𝑓) (𝑥) = 𝑥 \cdot 𝑓 (𝑥) + 𝑓' (𝑥), 𝑓 \in C \infty (ℝ), 𝑥 \in ℝ .$

Calcule el núcleo de $𝑃$ .
Calcule una función $𝑔$ del núcleo de $𝑃$ tal que $𝑔 (0) = 1$ .
Demuestre que toda función $𝑓 \in C \infty (ℝ)$ cumple que $𝑃 𝑛 (𝑔 \cdot 𝑓) = 𝑔 \cdot 𝑓 (𝑛)$ , para todo $𝑛 \in ℕ$ , donde $𝑃 𝑛$ es la composición de $𝑃$ consigo mismo $𝑛$ veces y $𝑔 \cdot 𝑓$ el producto usual de $𝑔$ y $𝑓$ .

Problema 4: Examen de 2016 de Galicia

Álgebra

Halle todos los polinomios $𝑃 (𝑥) \in ℝ [𝑥]$ tales que $𝑃 (𝑥) - 1$ sea divisible por $(𝑥 + 1) 4$ y $𝑃 (𝑥) + 1$ sea divisible por $(𝑥 - 1) 4$ .

Problema 6: Examen de 2016 de Galicia

Álgebra

Se considera el conjunto ${1, 2, 3, \dots, 𝑛}$ , siendo $𝑛 \in ℕ$ .

¿En cuántas de sus permutaciones no coincidirá ninguna cifra en el lugar que le corresponde por orden natural?
¿Cuál es la probabilidad de que, tomando una permutación al azar, aparezca al menos un número en su lugar?
Determine el número de inversiones que presenta la permutación de $3 𝑛$ elementos: $𝜎 = (147 \dots 3 𝑛 - 2258 \dots 3 𝑛 - 1369 \dots 3 𝑛) .$
Halle un criterio general para los números naturales $𝑛$ tales que la permutación anterior sea de clase par.

Problema 7: Examen de 2016 de Galicia

Álgebra

Sea $𝛼 \in ℂ$ una solución de la ecuación $𝐸 : 𝑥 2 - 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0,$ donde $𝑏, 𝑐 \in ℤ$ son tales que $𝑏 2 - 4 𝑐 < 0$ y sea $ℤ [𝛼]$ el conjunto de los $𝑧 = 𝑝 + 𝑞 𝛼 \in ℂ$ tales que $𝑝, 𝑞 \in ℤ$ .

Demuestre que $ℤ [𝛼]$ es un subanillo conmutativo y unitario de $ℂ$ respecto de las operaciones usuales de suma y producto de $ℂ$ .
Demuestre que el conjunto $𝑈 (ℤ [𝛼])$ de los elementos invertibles del anillo conmutativo y unitario $ℤ [𝛼]$ es un grupo con la multiplicación de $ℂ$ (grupo multiplicativo de $ℤ [𝛼]$ ).
Pruebe que $ℤ [𝛼] = ℤ [―― 𝛼]$ .
Si se considera la aplicación $𝑓 : ℤ [𝛼] \to ℕ$ definida por $𝑓 (𝑧) = | 𝑧 | 2$ , calcule $𝑓 (𝑝 + 𝑞 𝛼)$ en función de $𝑏, 𝑐, 𝑝, 𝑞$ .
Si $𝑓$ es la aplicación definida en el apartado anterior, calcule $𝑓 (𝑈 (ℤ [𝛼]))$ .

Problema 2: Examen de 2014 de Galicia

Álgebra

Dada la ecuación $𝑥 4 - 8 𝑥 3 + 22 𝑥 2 - 24 𝑥 + 𝑚 = 0$ , con $𝑚 \in ℝ$ , se pide:

Discuta las soluciones de la ecuación al variar el parámetro $𝑚$ .
Resuelva la ecuación en función de $𝑚$ .

Problema 6: Examen de 2014 de Galicia

Álgebra

Calcule todos los $(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) \in ℝ 4$ tales que la suma de cualquiera de sus componentes con el producto de las otras tres dé como resultado 2.

Problema 5: Examen de 2005 de Galicia

Álgebra

Sea $𝑛$ un número entero positivo. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes del binomio $(𝑎 + 𝑏) 𝑛$ sean impares es que $𝑛$ sea de la forma $2 𝑘 - 1$ .

Problema 7: Examen de 2005 de Galicia

Álgebra

Encontrar las soluciones reales del sistema de ecuaciones: ${3 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2) = 1, 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑧 2 + 𝑧 2 𝑥 2 = 𝑥 𝑦 𝑧 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 3 .$

Problema 1: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Demuestre que si $𝑛$ es un número entero impar, entonces el residuo de la división entera de $𝑛 2$ entre 8 es 1.

Problema 2: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Encuentre todos los números enteros $𝑏$ y $𝑐$ que hacen que la ecuación $𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = 0$ tenga dos soluciones diferentes y reales, $𝛼$ y $𝛽$ , y tales que $𝛼 2 + 𝛽 2 = 5 .$

Resolución

Sean $𝛼$ y $𝛽$ las dos soluciones de la ecuación, tales que $𝛼 2 + 𝛽 2 = 5$ . Por las relaciones de Cardano-Vietta, se tiene que: ${𝛼 𝛽 = 𝑐, 𝛼 + 𝛽 = - 𝑏 .$ Completando cuadrados, obtenemos que: $𝛼 2 + 𝛽 2 = (𝛼 + 𝛽) 2 - 2 𝛼 𝛽 = 𝑏 2 - 2 𝑐 .$ De esta forma, se tiene que: $𝛼 2 + 𝛽 2 = 5 \Leftrightarrow 𝑏 2 - 2 𝑐 = 5 \Leftrightarrow 𝑏 2 = 5 + 2 𝑐 .$ En primer lugar, observamos que: $𝑏 2 \geq 0 \Leftrightarrow 5 + 2 𝑐 \geq 0 \Leftrightarrow 2 𝑐 \geq - 5 \Leftrightarrow 𝑐 \geq - 52 𝑐 \in ℤ \Leftrightarrow 𝑐 \geq - 2 .$ Por otro lado, para que la ecuación tenga dos soluciones reales y distintas ha de verificarse: $𝑏 2 - 4 𝑐 > 0 \Leftrightarrow 5 - 2 𝑐 > 0 \Leftrightarrow 2 𝑐 < 5 \Leftrightarrow 𝑐 < 52 𝑐 \in ℤ \Leftrightarrow 𝑐 \leq 2 .$ Luego $- 2 \leq 𝑐 \leq 2$ .

Si $𝑐 = - 2$ , entonces $𝑏 2 = 1$ . Así que $𝑏 = \pm 1$ .
Si $𝑐 = - 1$ , entonces $𝑏 2 = 3$ . Como $𝑏 \notin ℤ$ , esta posibilidad no es válida.
Si $𝑐 = 0$ , entonces $𝑏 2 = 5$ . Como $𝑏 \notin ℤ$ , esta posibilidad no es válida.
Si $𝑐 = 1$ , entonces $𝑏 2 = 7$ . Como $𝑏 \notin ℤ$ , esta posibilidad no es válida.
Si $𝑐 = 2$ , entonces $𝑏 2 = 9$ . Así que $𝑏 = \pm 3$ .

Por tanto, los posibles valores de $𝑏$ y $𝑐$ son: ${𝑏 = - 1, 𝑐 = - 2, {𝑏 = 1, 𝑐 = - 2, {𝑏 = - 3, 𝑐 = 2, {𝑏 = 3, 𝑐 = 2 .$

Problema 6: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Encuentre un número natural $𝑛$ de tal manera que el número $25 \cdot 18 𝑛$ tenga 348 divisores más que el número 72.

Resolución

Sea $𝑚 = 25 \cdot 18 𝑛 = 2 𝑛 \cdot 3 2 𝑛 \cdot 52$ . Observamos en primer lugar que el número 72 tiene $4 \cdot 3 = 12$ divisores, así que $𝑚$ ha de tener 360 divisores.

El número $𝑚$ tiene $(𝑛 + 1) \cdot (2 𝑛 + 1) \cdot 3$ divisores. Para que tenga 360 divisores, ha de verificarse: $3 (𝑛 + 1) (2 𝑛 + 1) = 360 \Leftrightarrow 2 𝑛 2 + 3 𝑛 + 1 = 120 \Leftrightarrow 2 𝑛 2 + 3 𝑛 - 119 = 0 \Leftrightarrow {𝑛 = - 172 \notin ℕ, 𝑛 = 7 .$ Por tanto, $𝑛 = 7$ .

Problema 7: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Resuelva la ecuación $∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑥 3 3 𝑥 2 3 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 2 + 2 𝑥 2 𝑥 + 1 1 𝑥 2 𝑥 + 1 𝑥 + 2 1 1331 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 .$

Problema 11: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Sean $𝑃 3$ el espacio vectorial de los polinomios en la variable $𝑥$ de grado menor o igual que tres, y $𝑃 2$ el espacio vectorial de los polinomios en la variable $𝑥$ de grado menor o igual que dos. Se considera la aplicación $𝑓 : 𝑃 3 \to 𝑃 2, 𝑎 𝑥 3 + 𝑏 𝑥 2 + 𝑐 𝑥 + 𝑑 \mapsto 3 𝑎 𝑥 2 + 2 𝑏 𝑥 + 𝑐 .$

Comprobar que $𝑓$ es homomorfismo.
Clasificar el homomorfismo.

Problema 13: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Hallar todas las cuaternas $𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) \in ℝ 4$ tales que la suma de cualquiera de sus coordenadas con el producto de las tres restantes valga 2.

Problema 15: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Sea $𝑇 : ℝ 3 \to ℝ 3$ la aplicación lineal que cumple las siguientes condiciones (referidas a la base canónica):

La restricción de $𝑇$ al subespacio vectorial $𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) \in ℝ 3 : 𝑥 + 𝑦 - 𝑧 = 0}$ es una homotecia de razón 4.
$𝑇$ transforma el subespacio vectorial $𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) \in ℝ 3 : 2 𝑥 + 4 𝑦 + 3 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}$ en sí mismo.
$𝑇 (3, 0, - 1) = (6, - 6, 8) .$

Determinar la matriz de

𝑇

respecto de la base canónica.

Problema 20: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Demuestre por inducción que $𝑁 (𝑛) = 𝑛 (𝑛 + 12) (𝑛 + 1)$ es múltiplo de 3 para cada entero positivo $𝑛 .$

Problema 22: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Sea $(𝐸, ⟨ \cdot, \cdot ⟩)$ un espacio euclídeo de dimensión finita $𝑛 > 1 .$ Sean $𝜓$ y $𝜙$ dos automorfismos de $𝐸$ que conmutan y tales que:

$𝜓$ es autoadjunto, es decir, $⟨ 𝜓 (𝑥), 𝑦 ⟩ = ⟨ 𝑥, 𝜓 (𝑦) ⟩$ para cualesquiera vectores $𝑥, 𝑦 \in 𝐸 .$
$⟨ 𝜙 (𝑥), 𝑦 ⟩ = - ⟨ 𝑥, 𝜙 (𝑦) ⟩$ para cualesquiera vectores $𝑥, 𝑦 \in 𝐸 .$

Demostrar que:

Para todo $𝑥 \in 𝐸$ los vectores $𝜓 (𝑥)$ y $𝜙 (𝑥)$ son ortogonales.
Los endomorfismos $𝜓 + 𝜙$ y $𝜓 - 𝜙$ son automorfismos de $𝐸 .$
Sea $‖ \cdot ‖$ la norma inducida por el producto escalar $⟨ \cdot, \cdot ⟩ .$ Demostrar que para cada vector $𝑥 \in 𝐸$ se cumple la igualdad $‖ (𝜓 + 𝜙) (𝑥) ‖ = ‖ (𝜓 - 𝜙) (𝑥) ‖ .$
Sea $ℎ = (𝜓 + 𝜙) \circ (𝜓 - 𝜙) - 1 .$ Se cumple que $‖ ℎ (𝑥) ‖ = ‖ 𝑥 ‖$ para todo $𝑥 \in 𝐸 .$
Se cumple la igualdad $⟨ ℎ (𝑥), ℎ (𝑦) ⟩ = ⟨ 𝑥, 𝑦 ⟩$ para cualesquiera $𝑥, 𝑦 \in 𝐸 .$

Problema 24: Examen de 2018 de Islas Baleares

Álgebra

Dado el siguiente sistema de ecuaciones: $⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑎 𝑥 + (2 𝑎 + 1) 𝑦 - 𝑎 𝑧 = 1, 𝑎 𝑥 + 𝑦 - 𝑎 𝑧 = - 2 𝑏, 𝑎 𝑦 + (1 - 𝑎) 𝑧 = 𝑏 .$

Discutir y resolver el sistema.
Situar el problema dentro de un curso de la Educación Secundaria Obligatoria o Bachillerato, indicando los conocimientos previos que debe poseer el alumnado, las posibles relaciones con otras ramas de la matemática y/o con otras materias, las diversas alternativas para su resolución, los recursos y medios que se podrían utilizar, los posibles instrumentos de evaluación y otros aspectos de carácter didáctico que se consideren significativos.

Problema 1: Examen de 2002 de Islas Baleares

Álgebra

Encuentre las soluciones reales del sistema de ecuaciones: ${3 (𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2) = 1, 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑧 2 + 𝑧 2 𝑥 2 = 𝑥 𝑦 𝑧 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 3 .$

Problema 10: Examen de 2002 de Islas Baleares

Álgebra

Se considera la siguiente ecuación en la que $𝑎$ , $𝑏$ y $𝑐$ son números reales estrictamente positivos y $𝜆 \in ℝ$ : $𝑥 2 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 𝑥 + 𝜆 (𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎) = 0 .$

Demuestre que si $𝜆 \leq 34$ , las soluciones de la ecuación son reales.
Demuestre que si $𝑎$ , $𝑏$ y $𝑐$ son las longitudes de los lados de un triángulo y $𝜆 \geq 1$ , la ecuación carece de soluciones reales.

Problema 12: Examen de 2002 de Islas Baleares

Álgebra

Demuestre que todo número complejo $𝑧 \neq - 1$ y tal que $| 𝑧 | = 1$ puede escribirse en la forma: $𝑧 = 1 + 𝑎 𝑖 1 - 𝑎 𝑖,$ donde $𝑎$ es un parámetro real que debe determinarse.

Problema 14: Examen de 2002 de Islas Baleares

Álgebra

Demuestre que el número $𝑁 = 5125 - 1 525 - 1$ es compuesto.

Problema 16: Examen de 2002 de Islas Baleares

Álgebra

Resuelva la ecuación siguiente, en la que $𝑎$ es un número complejo: $∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 𝑎 𝑎 + 𝑥 𝑎 + 𝑥 2 𝑎 1 𝑎 + 𝑥 2 𝑎 + 𝑥 𝑎 + 𝑥 𝑎 + 𝑥 2 1 𝑎 𝑎 + 𝑥 2 𝑎 + 𝑥 𝑎 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 .$

Problema 2: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Halle todas las soluciones formadas por números enteros de la ecuación: $𝑥 21 + 𝑥 22 + 𝑥 23 + 𝑥 24 + 𝑥 25 + 𝑥 26 + 𝑥 27 + 𝑥 28 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 + 𝑥 6 + 𝑥 7 + 𝑥 8 .$

Problema 5: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Sea $𝐵$ una matriz cuadrada de tamaño $3 \times 3$ sobre $ℝ$ . Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuáles no:

Si $r a n g (𝐵) = 2$ , entonces $r a n g (𝐵 2) = 2$ .
Si $r a n g (𝐵) = 3$ , entonces $r a n g (𝐵 3) = 3$ .
Si $r a n g (𝐵) = 3$ , entonces $r a n g (𝐵 - 1) = 3$ .

Problema 7: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Sean $𝑎$ y $𝑏$ dos números reales tales que $𝑎 + 𝑏 = 1$ y $𝑎 2 + 𝑏 2 = 11$ . ¿Cuál es el valor de $𝑎 5 + 𝑏 5$ ?

Problema 9: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Demuestre que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal.

Problema 12: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Halle todas las soluciones de la ecuación $(1 + 𝑖) 𝑧 3 - 2 𝑖 = 0$ .

Problema 16: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

¿Es posible encontrar tres números naturales $𝑎$ , $𝑏$ y $𝑐$ , ninguno de ellos cuadrado perfecto, tales que $\sqrt 𝑎 + \sqrt 𝑏 = \sqrt 𝑐$ ?

Problema 19: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Halle la parte real del número complejo $(𝑎 + 𝑏 𝑖) 𝑛$ , donde $𝑎$ y $𝑏$ son las raíces que tienen en común los polinomios: $𝑥 4 - 3 𝑥 3 + 3 𝑥 2 - 3 𝑥 + 2$ y $2 𝑥 3 - 5 𝑥 2 + 𝑥 + 2$ , y $𝑛$ es la base del sistema de numeración en el que los números $123 (𝑛)$ , $140 (𝑛)$ y $156 (𝑛)$ están en progresión aritmética.

Problema 20: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Un número natural tiene dos factores primos y ocho divisores naturales. La suma de sus divisores es 320. Determine dicho número.

Problema 23: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados ciertos estudiantes. Un día, el señor conserje observa que, de los asistentes a clase, el 36,363636...% son mujeres y el 67,567567...% vestía pantalón vaquero. ¿En qué intervalo se encuentra el número de alumnos que faltaron a clase ese día?

Entre 65 y 73.
Entre 74 y 82.
Entre 83 y 91.

Problema 24: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Demuestre que si $𝑓$ es un endomorfismo de un espacio vectorial $𝐸$ , una condición necesaria y suficiente para que $𝑓 2 = 𝑓 \circ 𝑓$ sea la aplicación nula es que $I m 𝑓 \subset K e r 𝑓$ .

Problema 25: Examen de 2006 de Islas Canarias

Álgebra

Discuta, según los valores reales de $𝑎$ y $𝑏$ , el sistema siguiente y resuélvalo cuando sea compatible determinado. $⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑧 = 1, 𝑥 + 𝑎 𝑏 𝑦 + 𝑧 = 𝑏, 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑎 𝑧 = 1 .$

Problema 2: Examen de 2018 de La Rioja

Álgebra

Sea la matriz $𝑇 = (𝑡 𝑖 𝑗) \in M 3 (ℤ)$ definida por $𝑡 𝑖 𝑗 = {0, s i 𝑖 = 𝑗, 1, s i 𝑖 \neq 𝑗 .$

Demuestre que para todo $𝑘 \in ℕ$ existen números reales $𝑎 𝑘$ y $𝑏 𝑘$ tales que $𝑇 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑇 + 𝑏 𝑘 𝐼 3,$ donde $𝐼 3 \in M 3 (ℤ)$ es la matriz identidad, y halle la relación de recurrencia de los escalares $𝑎 𝑘$ y $𝑏 𝑘 .$
Calcule los límites $l í m 𝑘 \to \infty 𝑎 𝑘 𝑏 𝑘 y l í m 𝑘 \to \infty 𝑎 𝑘 𝑎 𝑘 - 1 .$

Problema 2: Examen de 2015 de La Rioja

Álgebra

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

Escriba todos los divisores naturales de 1001.
Si $𝑁 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑡 + 𝑎 2 𝑡 2 + \dots + 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛$ y $𝑆 = 𝑎 0 - 𝑎 1 + 𝑎 2 - \dots + (- 1) 𝑛 𝑎 𝑛,$ donde $𝑡 = 1000$ , y cada coeficiente $𝑎 𝑖$ es un número entero, demuestre que $𝑁$ y $𝑆$ son congruentes módulo 1001.
Deduzca de lo anterior un criterio de divisibilidad por 7, 11 o 13 y aplíquelo al número 186236745823691615.

Problema 1: Examen de 2025 de Madrid

Álgebra

En el espacio vectorial $ℝ 3$ , se consideran los siguientes conjuntos: $𝑈 1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) \in ℝ 3 : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} 𝑈 2 = {(𝑡, 2 𝑡, 3 𝑡) \in ℝ 3 : 𝑡 \in ℝ} .$ Se pide:

Probar que son subespacios vectoriales de $ℝ 3$ .
Hallar una base de $𝑈 1$ , de $𝑈 2$ y de $𝑈 1 \cap 𝑈 2$ .

Problema 2: Examen de 2025 de Madrid

Álgebra

Responder razonadamente a las siguientes cuestiones:

Justificar si son correctas o no las siguientes afirmaciones sobre el conjunto: $C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : 0 < x < 1\} \text{ de } \mathbb{R}^2.$
- Es conexo y abierto.
- Es conexo y compacto.
- Es compacto y abierto.
Demostrar que toda matriz compleja cuadrada de orden 2 es semejante a una matriz de una de las tres formas siguientes: $(𝜆 0 0 𝜇), (𝜆 0 0 𝜆), (𝜆 0 1 𝜆),$ con $𝜆, 𝜇 \in ℂ$ .

Problema 1: Examen de 2018 de Madrid

Álgebra

Dados $𝑥 \in ℝ$ y el determinante $Δ 𝑛 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 - 12 00 \dots 00 𝑥 1 - 13 0 \dots 00 𝑥 2 01 - 14 \dots 00 𝑥 3 001 \dots 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑥 𝑛 - 2 000 \dots 1 - 1 𝑛 𝑥 𝑛 - 1 000 \dots 01 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣$ calcule $l í m 𝑛 \to \infty Δ 𝑛 .$

Problema 1: Examen de 2016 de Madrid

Álgebra

Sea ${𝑎 𝑛}$ la sucesión de números naturales dada por: $𝑎 𝑛 = 𝑛 \sum 𝑖, 𝑗 = 1 𝑖 𝑗$ y sea $𝑝$ un número primo. Demuestre que $𝑎 𝑝 + 1$ es múltiplo de $𝑝$ si y sólo si $𝑝 \neq 3$ .

Problema 5: Examen de 2018 de Melilla

Álgebra

Calcule el valor del determinante $∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1! 100 \dots 0 1 2! 1 1! 10 \dots 0 1 3! 1 2! 1 1! 1 \dots 0 1 4! 1 3! 1 2! 1 1! \dots 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑛! 1 (𝑛 - 1)! 1 (𝑛 - 2)! 1 (𝑛 - 3)! \dots 1 1! ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .$

Problema 3: Examen de 2016 de Melilla

Álgebra

Halle todos los polinomios $𝑃 (𝑥)$ con coeficientes reales tal que $𝑃 (𝑥 + 2) - 2 𝑃 (𝑥 + 1) + 𝑃 (𝑥) = 𝑥$ sabiendo que $𝑃 (0) = 16$ y que $𝑃 (3) = 23$ .

Problema 2: Examen de 2018 de Murcia

Álgebra

Sean $𝑎$ y $𝑏$ números reales y $𝐴 𝑛 \in M 𝑛 (ℝ)$ definida como $𝐴 𝑛 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 00 \dots 0 𝑎 𝑏 - 1 0 \dots 0 𝑎 2 𝑎 𝑏 𝑏 - 1 \dots 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛 - 1 𝑎 𝑛 - 2 𝑏 𝑎 𝑛 - 3 𝑏 𝑎 𝑛 - 4 𝑏 \dots 𝑏 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ para cada $𝑛 \geq 3 .$ Halle:

El determinante de $𝐴 𝑛 .$
Ecuaciones implícitas del subespacio vectorial de $ℝ 𝑛$ generado por los vectores columna de $𝐴 𝑛 .$
La dimensión del cociente $ℝ 𝑛 / K e r 𝑓$ , donde $𝑓 : ℝ 𝑛 \to ℝ 𝑛$ es la aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica de $ℝ 𝑛$ es $𝐴 𝑛 .$

Problema 1: Examen de 2018 de Navarra

Álgebra

Se consideran los siguientes subespacios vectoriales de $ℝ 4$ : $𝑆 1 = L {(1, 1, - 2, 1), (0, 1, - 1, 2), (2, - 1, - 1, - 4)}, 𝑆 2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) \in ℝ 4 : 3 𝑥 + 𝑎 𝑧 = 0, 𝑥 - 2 𝑦 - 2 𝑡 = 0} .$ Halle $𝑎$ para que $𝑆 1 + 𝑆 2$ sea distinto de $ℝ 4 .$ En este caso, obtenga la dimensión y una base de $𝑆 1 \cap 𝑆 2 .$

Problema 2: Examen de 2018 de Navarra

Álgebra

Dada la ecuación $𝑥 4 + 4 𝑥 3 - 2 𝑥 2 - 12 𝑥 + 𝑘 = 0$ con $𝑘 \in ℝ$ se pide:

Discuta sus soluciones en función de los valores del parámetro $𝑘 \in ℝ .$
Resuelva la ecuación si $𝑘 = - 27 .$

Problema 5: Examen de 2018 de Navarra

Álgebra

Sea $ℝ 2 [𝑡]$ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales.

Encuentre los valores de $𝑎, 𝑏, 𝑐 \in ℝ$ de modo que $𝑃 (𝑡) = 𝑡 3 + 𝑎 𝑡 2 + 𝑏 𝑡 + 𝑐 𝑡 - 1 + 𝑡 3 + 𝑏 𝑡 2 + 𝑐 𝑡 + 𝑎 𝑡 + 1 + 𝑡 3 + 𝑐 𝑡 2 + 𝑎 𝑡 + 𝑏 𝑡 - 2$ pertenezca a $ℝ 2 [𝑡] .$
Demuestre que $B = {𝑡 2 + 𝑡 + 1, 𝑡 2 - 1, 𝑃 (𝑡)}$ es una base de $ℝ 2 [𝑡]$ y calcule las coordenadas respecto de dicha base del polinomio $𝑄 (𝑡) = 2 𝑡 2 + 3 𝑡 .$

Problema 2: Examen de 2018 de País Vasco

Álgebra

Sea $𝑝$ un número primo. Determine todos los enteros $𝑘 \in ℤ$ tales que $\sqrt 𝑘 2 - 𝑘 𝑝$ sea un número entero no negativo.

Problema 3: Examen de 2018 de País Vasco

Álgebra

Para cada número natural $𝑛$ se define $𝐴 𝑛 = 2 𝑛 + 2 2 𝑛 + 2 3 𝑛 .$

Demuestre que $𝐴 𝑛 + 3$ es congruente con $𝐴 𝑛$ módulo $7$ para cada número natural $𝑛 .$
Encuentre para qué valores de $𝑛$ se cumple que $𝐴 𝑛$ es divisible por $7 .$ (Utilice el resultado anterior).

Resolución

En primer lugar, desarrollamos la expresión de $𝐴 𝑛 + 3 .$ $𝐴 𝑛 + 3 = 2 𝑛 + 3 + 2 2 𝑛 + 6 + 2 3 𝑛 + 9 = 2 𝑛 \cdot 23 + 2 2 𝑛 \cdot 26 + 2 3 𝑛 \cdot 29 = 8 \cdot 2 𝑛 + 64 \cdot 2 2 𝑛 + 512 \cdot 2 3 𝑛 .$ Observamos que: $8 \equiv 1 (m o d 7), 64 \equiv 1 (m o d 7), 512 \equiv 1 (m o d 7) .$ Por tanto, $𝐴 𝑛 + 3 = 8 \cdot 2 𝑛 + 64 \cdot 2 2 𝑛 + 512 \cdot 2 3 𝑛 \equiv 2 𝑛 + 2 2 𝑛 + 2 3 𝑛 = 𝐴 𝑛 (m o d 7) .$
$A_n$ es divisible por 7 si y solo si: $A_n \equiv 0 \, (\mod 7) \Leftrightarrow A_{n+3} \equiv 0 \, (\mod 7).$ Luego, si $A_k$ es divisible por 7 para algún $k \in \mathbb{N}$ , entonces $A_{k + 3r}$ es también divisible por 7 para todo $r \in \mathbb{N}.$ Estudiamos la divisibilidad de los primeros términos.
- $𝐴 1 = 2 + 4 + 8 = 14$ es divisible por 7, así que $𝐴 1 + 3 𝑘$ es divisible por 7 para todo $𝑘 \in ℕ \cup {0} .$
- $𝐴 2 = 4 + 16 + 64 = 84$ es divisible por 7, así que $𝐴 2 + 3 𝑘$ es divisible por 7 para todo $𝑘 \in ℕ \cup {0} .$
- $𝐴 3 = 8 + 64 + 512 = 584$ no es divisible por 7, así que $𝐴 3 𝑘$ no es divisible por 7 para ningún $𝑘 \in ℕ .$
Por tanto, $A_n$ es divisible por 7 si y solo si $n$ no es múltiplo de 3.

Problema 1: Examen de 2016 de País Vasco

Álgebra

Halle todos los polinomios $𝑃 (𝑥) \in ℝ [𝑥]$ tales que $𝑃 (𝑥) - 𝑃 (𝑥 - 1) = 𝑥 2, 𝑃 (0) = 0$ y deduzca de ello el valor de la suma $𝑛 \sum 𝑘 = 1 𝑘 2 .$

Problema 4: Examen de 2016 de País Vasco

Álgebra

Se dice que un número natural es perfecto cuando es igual a la suma de todos sus divisores positivos, excluido él mismo. Demuestre que, siendo $𝑝 \in ℕ$ , el número $2 𝑝 - 1 (2 𝑝 - 1)$ es perfecto siempre que $2 𝑝 - 1$ sea primo.

Problema 2: Examen de 2016 de Valencia

Álgebra

Se considera el espacio vectorial real $ℝ 2$ y se define la aplicación $𝐹 : ℝ 2 \times ℝ 2 \to ℝ$ tal que $𝐹 ((𝑥 1, 𝑥 2), (𝑦 1, 𝑦 2)) = 𝑥 1 𝑦 1 - 𝑥 1 𝑦 2 - 𝑥 2 𝑦 1 + 𝑎 𝑥 2 𝑦 2 .$

Determine los valores de $𝑎 \in ℝ$ para los cuales el par $(ℝ 2, 𝐹)$ es un espacio vectorial euclídeo y calcule la matriz de la métrica en la base canónica.
Para los valores de $𝑎$ que lo permitan, calcule la base ortonormal de $(ℝ 2, 𝐹)$ . ¿Cuál es la matriz de la métrica en esa base?
Sea $(ℝ 3, 𝐺)$ el espacio vectorial euclídeo que hace ortonormal a la base $𝐵 = {(1, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 1)}$ . Dé la matriz coordenada de la métrica $𝐺$ en la base canónica.
Supongamos que $𝐴$ es una matriz simétrica real $𝑛 \times 𝑛$ que satisface la condición $𝐴 3 - 3 𝐴 2 + 6 𝐴 - 2 𝐼 = 𝑂$ donde $𝐼$ y $𝑂$ son las matrices unidad y nula de tamaño $𝑛 \times 𝑛$ , respectivamente. Demuestre que existe un único $𝑐 \in ℝ$ de tal manera que $𝐴 = 𝑐 𝐼 .$

Problema 5: Examen de 2016 de Valencia

Álgebra

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

Halle un conjunto infinito de ternas $(𝑎, 𝑏, 𝑐)$ formadas por números naturales distintos que sean solución de la ecuación $𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 2 𝑐 (𝑎 + 𝑏) .$
Demuestre que la ecuación $𝑎 3 + 𝑏 3 - 𝑐 3 = 3 𝑏 (𝑎 - 𝑐) (𝑎 + 𝑐 - 𝑏)$ no tiene soluciones $(𝑎, 𝑏, 𝑐) \in ℕ 3$ tales que $𝑎 < 𝑏 < 𝑐$ .

Problema 1: Examen de 2015 de Valencia

Álgebra

Sean $𝑓$ y $𝑔$ dos endomorfismos del espacio vectorial $ℝ 3$ definidos para todo $(𝑥, 𝑦, 𝑧) \in ℝ 3$ como sigue: $𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 2 𝑥 - 𝑧, 2 𝑦 + 𝑧), 𝑔 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 0) .$

Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión del núcleo de $𝑓$ y del núcleo de $𝑔$ .
Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión de la imagen de $𝑓$ y de la imagen de $𝑔$ .
Determine las matrices asociadas a los endomorfismos $𝑓$ , $𝑔$ , $𝑓 \circ 𝑔$ y $𝑔 \circ 𝑓$ en la base canónica de $ℝ 3$ .