Matemáticas de oposiciones

Se considera la familia T de subconjuntos de ℝ definida así: 𝐴∈T si y solo si 𝐴=∅ o bien ℝ∖𝐴 es un conjunto finito.

1. Demuestre que T es una topología.
2. Estudie la convergencia de la sucesión {1𝑛} en el espacio (ℝ,T).
3. ¿Es Hausdorff el espacio (ℝ,T)? ¿Es un espacio 𝑇1?

Dada la función de densidad 𝑓 :ℝ →ℝ que se anula en el intervalo ( −∞,0] y para cada 𝑥 >0 vale 𝑓(𝑥)=2𝑥𝜃2𝑒−(𝑥2𝜃2), y una muestra aleatoria simple {𝑥1,…,𝑥𝑛} de 𝑥, calcule el estimador 𝜃 por el método de máxima verosimilitud.

Los vértices del triángulo △𝐴𝐵𝐶 son los afijos de los números complejos 𝑧𝐴 =1, 𝑧𝐵 = −12 +√32𝑖 y 𝑧𝐶 = −12 −√32𝑖, donde 𝑖 =√−1.

1. Dadas las relaciones 𝑧 +𝑧1 =2 ⋅𝑧𝐴, 𝑧1 +𝑧2 =2 ⋅𝑧𝐵 y 𝑧2 +𝑧3 =2 ⋅𝑧𝐶, identifique las transformaciones geométricas: 𝑀↦𝑀1,𝑀↦𝑀2y𝑀↦𝑀3 donde 𝑀1, 𝑀2 y 𝑀3 son, respectivamente, los afijos de 𝑧1, 𝑧2 y 𝑧3.
2. Determine, si el punto 𝑀 describe la circunferencia circunscrita al triángulo △𝐴𝐵𝐶, la línea descrita por el afijo de 𝑧4 =𝑧 +𝑎2𝑧, donde 𝑎 ∈ℝ. Especifique, en particular, el caso en que 𝑎 coincida con el radio de la circunferencia.

Sea ℝ3[𝑥] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 con coeficientes reales y sea B1 ={1,𝑥,𝑥2,𝑥3} la base canónica de ℝ3[𝑥]. Se consideran los subespacios vectoriales 𝑈1=L{𝑥2+2𝑥,−𝑥2+𝑥,𝑥2+𝑥},𝑈2={𝑎+𝑏𝑥+𝑐𝑥2+𝑑𝑥3∈ℝ3[𝑥]:𝑏+𝑐=0, 2𝑏−𝑐=0},𝑈3={𝑎+𝑏𝑥+𝑐𝑥2+𝑑𝑥3∈ℝ3[𝑥]:𝑎=0, 𝑏=−𝛽, 𝑐=0, 𝑑=𝛼+𝛽, 𝛼,𝛽∈ℝ}.

1. Calcule 𝑈1 ∩𝑈2 y 𝑈1 +𝑈2. ¿Son 𝑈1 y 𝑈2 suplementarios?
2. Calcule unas ecuaciones cartesianas respecto de la base B1 de 𝑈1 y 𝑈2.
3. Encuentre una aplicación lineal ℎ :ℝ3[𝑥] →ℝ4 cuyo núcleo sea 𝑈1.
4. Halle la matriz de la aplicación lineal anterior respecto de las bases B1 y B2={𝑢1=(1,0,0,0), 𝑢2=(1,1,0,0), 𝑢3=(1,1,1,0), 𝑢4=(1,1,1,1)}.
5. ¿Es la matriz hallada en el apartado anterior equivalente a la matriz 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝3421100031110001⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠?

Una circunferencia variable 𝐶 es tangente a la recta 𝑦 =0 en el punto 𝐴 =( −1,0). Sea 𝑟 la recta tangente a 𝐶 en el punto diametralmente opuesto al punto 𝐴 y sea 𝑠 la recta tangente a 𝐶, distinta de 𝑦 =0, que pasa por el punto 𝐵 =(1,0).

1. Calcule la ecuación del lugar geométrico formado por los puntos de intersección de las rectas 𝑟 y 𝑠.
2. Calcule el área de la región del plano que está encerrada por la curva calculada en el apartado anterior y la recta 𝑥 =0.

Dos jugadores A y B están jugando y ganará el juego quien gane antes dos partidas. La probabilidad de que gane una partida el jugador A es 𝑝, la de que la gane B es 𝑞 y la de que la partida acabe en empate es 𝑟. Sabiendo que 𝑝 >0, 𝑞 >0 y 𝑟 >0, calcule la probabilidad de que el jugador A gane el juego.

Calcule el límite siguiente: lím𝑛→∞⁡𝑛√(𝑎+√𝑛2+𝑎2)⋅(2𝑎+√𝑛2+4𝑎2)⋯(𝑛𝑎+√𝑛2+𝑛2𝑎2)𝑛.