Exámenes

Problema 1

Una viga rígida, considerada como un objeto unidimensional, debe ser transportada horizontalmente a ras de suelo a través de un pasillo que gira en ángulo recto. La anchura del pasillo antes de la esquina es $𝑎$ y, tras el giro, pasa a tener anchura $𝑏$ . Determinar la longitud máxima que puede tener la viga para que sea posible trasladarla, sin levantarla del suelo, y superar la esquina formada por los dos tramos perpendiculares del pasillo.
A la gran final de un torneo de ajedrez han llegado Alicia y Berta. En este deporte, la victoria otorga un punto y las tablas medio punto. Para saber quién será la campeona final, van a jugar dos partidas y ganará aquella que obtenga mayor puntuación. En caso de empate, se repetirá el proceso. Se sabe que, en una partida, $𝑝$ es la probabilidad de que gane Alicia, $𝑞$ es la de que gane Berta y $𝑟$ es la probabilidad de que terminen en tablas. Calcular la probabilidad de ganar el torneo que tiene cada una. Particularizar finalmente al caso $𝑟 = 𝑞 = 0, 25$ .
Demostrar que el producto de los catetos de un triángulo rectángulo donde todos los lados son números naturales es múltiplo de 12.

Resolución

Sean

𝑙

la longitud de la viga y

𝑂

el punto de la esquina interior. La viga de mayor longitud que puede realizar el giro se corresponde con el segmento de longitud mínima que pasa por

𝑂

y tiene extremos en los bordes exteriores del pasillo. Figura

Sea

𝛼 \in (0, 𝜋 2)

el ángulo que forma el segmento con la horizontal y sean

𝑙 1

y

𝑙 2

las distancias del punto

𝑂

a cada uno de los extremos, respectivamente. Se tiene que:

c o s (𝛼) = 𝑎 𝑙 1 \Rightarrow 𝑙 1 = 𝑎 c o s (𝛼), s e n (𝛼) = 𝑏 𝑙 2 \Rightarrow 𝑙 2 = 𝑏 s e n (𝛼) .

De esta forma, la longitud completa de la viga viene dada en función del ángulo

𝛼

por:

𝑙 = 𝑙 1 + 𝑙 2 = 𝑎 c o s (𝛼) + 𝑏 s e n (𝛼) .

Así que la función a minimizar es:

𝑓 (𝛼) = 𝑎 c o s (𝛼) + 𝑏 s e n (𝛼) .

En primer lugar, hallamos la derivada de la función.

𝑓' (𝛼) = - 𝑎 c o s 2 (𝛼) \cdot (- s e n (𝛼)) - 𝑏 s e n 2 (𝛼) \cdot c o s (𝛼) = 𝑎 s e n (𝛼) c o s 2 (𝛼) - 𝑏 c o s (𝛼) s e n 2 (𝛼) .

Hallamos los puntos críticos igualando la derivada a cero.

𝑓' (𝛼) = 0 \Leftrightarrow 𝑎 s e n (𝛼) c o s 2 (𝛼) - 𝑏 c o s (𝛼) s e n 2 (𝛼) = 0 \Leftrightarrow 𝑎 s e n (𝛼) c o s 2 (𝛼) = 𝑏 c o s (𝛼) s e n 2 (𝛼) \Leftrightarrow 𝑎 s e n 3 (𝛼) = 𝑏 c o s 3 (𝛼) \Leftrightarrow t g 3 (𝛼) = 𝑏 𝑎 \Leftrightarrow \Leftrightarrow t g (𝛼) = 3 \sqrt 𝑏 𝑎 \Leftrightarrow 𝛼 = a r c t g (3 \sqrt 𝑏 𝑎) .

Estudiamos el signo de la derivada para comprobar que en el punto de abscisa

𝛼 = a r c t g (3 \sqrt 𝑏 𝑎)

se alcanza el mínimo de la función. Observamos que:

l í m 𝛼 \to 0 + 𝑓' (𝛼) = l í m 𝛼 \to 0 + (𝑎 s e n (𝛼) c o s 2 (𝛼) - 𝑏 c o s (𝛼) s e n 2 (𝛼)) = - \infty, l í m 𝛼 \to 𝜋 2 - 𝑓' (𝛼) = l í m 𝛼 \to 𝜋 2 - (𝑎 s e n (𝛼) c o s 2 (𝛼) - 𝑏 c o s (𝛼) s e n 2 (𝛼)) = + \infty .

Podemos organizar la información en una tabla.

	$(0, a r c t g (3 \sqrt 𝑏 𝑎))$	$(a r c t g (3 \sqrt 𝑏 𝑎), 𝜋 2)$
signo de $𝑓'$	$-$	$+$
monotonía de $𝑓$	$\to$	$\to$

Así que el mínimo absoluto de la función se alcanza en

𝛼 = a r c t g (3 \sqrt 𝑏 𝑎)

. Por tanto, la longitud máxima de la viga viene dada por:

𝑙 = 𝑎 c o s (𝛼 0) + 𝑏 s e n (𝛼 0), c o n 𝛼 0 = a r c t g (3 \sqrt 𝑏 𝑎) .

Para obtener una expresión más simplificada, podemos escribir el seno y el coseno en función de la tangente.

t g (𝛼) = s e n (𝛼) c o s (𝛼) \Rightarrow t g 2 (𝛼) = s e n 2 (𝛼) \cdot 1 c o s 2 (𝛼) = s e n 2 (𝛼) (1 + t g 2 (𝛼)) \Leftrightarrow s e n 2 (𝛼) = t g 2 (𝛼) 1 + t g 2 (𝛼), c o s 2 (𝛼) = 1 - s e n 2 (𝛼) = 1 - t g 2 (𝛼) 1 + t g 2 (𝛼) = 1 1 + t g 2 (𝛼) .

Por tanto, la longitud se puede expresar de la forma:

𝑙 = 𝑎 \sqrt 1 + t g 2 (𝛼 0) + 𝑏 \sqrt 1 + t g 2 (𝛼 0) t g (𝛼 0) = (𝑎 + 𝑏 t g (𝛼 0)) \sqrt 1 + t g 2 (𝛼 0) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 + 𝑏 3 \sqrt 𝑏 𝑎 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt \sqrt ⎷ 1 + (3 \sqrt 𝑏 𝑎) 2 = = (𝑎 + 𝑎 13 \cdot 𝑏 23) \sqrt 1 + 𝑏 23 𝑎 23 = 𝑎 13 (𝑎 23 + 𝑏 23) \sqrt 𝑎 23 + 𝑏 23 𝑎 23 = 𝑎 13 (𝑎 23 + 𝑏 23) \cdot (𝑎 23 + 𝑏 23) 12 𝑎 13 = (𝑎 23 + 𝑏 23) 32 .

Sean los sucesos:

𝐴 = 𝐴 𝑙 𝑖 𝑐 𝑖 𝑎 𝑔 𝑎 𝑛 𝑎 𝑙 𝑎 𝑝 𝑎 𝑟 𝑡 𝑖 𝑑 𝑎, 𝐵 = 𝐵 𝑒 𝑟 𝑡 𝑎 𝑔 𝑎 𝑛 𝑎 𝑙 𝑎 𝑝 𝑎 𝑟 𝑡 𝑖 𝑑 𝑎, 𝑇 = 𝑙 𝑎 𝑝 𝑎 𝑟 𝑡 𝑖 𝑑 𝑎 𝑡 𝑒 𝑟 𝑚 𝑖 𝑛 𝑎 𝑒 𝑛 𝑡 𝑎 𝑏 𝑙 𝑎 𝑠, 𝑅 𝐴 = 𝐴 𝑙 𝑖 𝑐 𝑖 𝑎 𝑔 𝑎 𝑛 𝑎 𝑙 𝑎 𝑟 𝑜 𝑛 𝑑 𝑎, 𝑅 𝐵 = 𝐵 𝑒 𝑟 𝑡 𝑎 𝑔 𝑎 𝑛 𝑎 𝑙 𝑎 𝑟 𝑜 𝑛 𝑑 𝑎, 𝑅 𝐸 = 𝑙 𝑎 𝑟 𝑜 𝑛 𝑑 𝑎 𝑞 𝑢 𝑒 𝑑 𝑎 𝑒 𝑛 𝑒 𝑚 𝑝 𝑎 𝑡 𝑒, 𝐺 𝐴 = 𝐴 𝑙 𝑖 𝑐 𝑖 𝑎 𝑔 𝑎 𝑛 𝑎 𝑒 𝑙 𝑡 𝑜 𝑟 𝑛 𝑒 𝑜, 𝐺 𝐵 = 𝐵 𝑒 𝑟 𝑡 𝑎 𝑔 𝑎 𝑛 𝑎 𝑒 𝑙 𝑡 𝑜 𝑟 𝑛 𝑒 𝑜 .

Podemos organizar los datos en un diagrama de árbol.

			$𝐴 (2 - 0)$
		$𝑝 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
	$𝐴$	$𝑞 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$	$𝐵 (1 - 1)$
$𝑝 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$		$𝑟 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
			$𝑇 (1, 5 - 0, 5)$
			$𝐴 (1 - 1)$
		$𝑝 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
$𝑞 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$	$𝐵$	$𝑞 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$	$𝐵 (0 - 2)$
		$𝑟 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
			$𝑇 (0, 5 - 1, 5)$
			$𝐴 (1, 5 - 0, 5)$
$𝑟 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$		$𝑝 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
	$𝑇$	$𝑞 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$	$𝐵 (0, 5 - 1, 5)$
		$𝑟 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
			$𝑇 (1 - 1)$

Las probabilidades de obtener los distintos resultados al terminar la ronda de dos partidas son:

𝑃 (𝑅 𝐴) = 𝑃 (𝐴 \cap 𝐴) + 𝑃 (𝐴 \cap 𝑇) + 𝑃 (𝑇 \cap 𝐴) = 𝑃 (𝐴) \cdot 𝑃 (𝐴 | 𝐴) + 𝑃 (𝐴) \cdot 𝑃 (𝑇 | 𝐴) + 𝑃 (𝑇) \cdot 𝑃 (𝐴 | 𝑇) = = 𝑝 2 + 𝑝 𝑟 + 𝑟 𝑝 = 𝑝 2 + 2 𝑝 𝑟 = 𝑝 (𝑝 + 2 𝑟), 𝑃 (𝑅 𝐵) = 𝑃 (𝐵 \cap 𝐵) + 𝑃 (𝐵 \cap 𝑇) + 𝑃 (𝑇 \cap 𝐵) = 𝑃 (𝐵) \cdot 𝑃 (𝐵 | 𝐵) + 𝑃 (𝐵) \cdot 𝑃 (𝑇 | 𝐵) + 𝑃 (𝑇) \cdot 𝑃 (𝐵 | 𝑇) = = 𝑞 2 + 𝑞 𝑟 + 𝑟 𝑞 = 𝑞 2 + 2 𝑞 𝑟 = 𝑞 (𝑞 + 2 𝑟), 𝑃 (𝑅 𝐸) = 𝑃 (𝐴 \cap 𝐵) + 𝑃 (𝐵 \cap 𝐴) + 𝑃 (𝑇 \cap 𝑇) = 𝑃 (𝐴) \cdot 𝑃 (𝐵 | 𝐴) + 𝑃 (𝐵) \cdot 𝑃 (𝐴 | 𝐵) + 𝑃 (𝑇) \cdot 𝑃 (𝑇 | 𝑇) = = 𝑝 𝑞 + 𝑞 𝑟 + 𝑟 2 = 𝑟 2 + 2 𝑝 𝑞 .

De esta forma, las probabilidades de que ganen Alicia y Berta, respectivamente, vienen dadas por:

𝑃 (𝐺 𝐴) = 𝑃 (𝑅 𝐴) + 𝑃 (𝑅 𝐸) \cdot 𝑃 (𝑅 𝐴) + 𝑃 (𝑅 𝐸) 2 \cdot 𝑃 (𝑅 𝐴) + \dots = \infty \sum 𝑛 = 0 𝑃 (𝑅 𝐴) \cdot 𝑃 (𝑅 𝐸) 𝑛 = 𝑃 (𝑅 𝐴) \cdot \infty \sum 𝑛 = 0 (𝑟 2 + 2 𝑝 𝑞) 𝑛, 𝑃 (𝐺 𝐵) = 𝑃 (𝑅 𝐵) + 𝑃 (𝑅 𝐸) \cdot 𝑃 (𝑅 𝐵) + 𝑃 (𝑅 𝐸) 2 \cdot 𝑃 (𝑅 𝐵) + \dots = \infty \sum 𝑛 = 0 𝑃 (𝑅 𝐵) \cdot 𝑃 (𝑅 𝐸) 𝑛 = 𝑃 (𝑅 𝐵) \cdot \infty \sum 𝑛 = 0 (𝑟 2 + 2 𝑝 𝑞) 𝑛 .

Como

0 < 𝑟 2 + 2 𝑝 𝑞 < 1

por tratarse de una probabilidad, entonces:

\infty \sum 𝑛 = 0 (𝑟 2 + 2 𝑝 𝑞) 𝑛 = 1 1 - 𝑟 2 - 2 𝑝 𝑞 .

Por tanto,

𝑃 (𝐺 𝐴) = 𝑃 (𝑅 𝐴) \cdot \infty \sum 𝑛 = 0 (𝑟 2 + 2 𝑝 𝑞) 𝑛 = 𝑝 (𝑝 + 2 𝑟) 1 - 𝑟 2 - 2 𝑝 𝑞, 𝑃 (𝐺 𝐵) = 𝑃 (𝑅 𝐵) \cdot \infty \sum 𝑛 = 0 (𝑟 2 + 2 𝑝 𝑞) 𝑛 = 𝑞 (𝑞 + 2 𝑟) 1 - 𝑟 2 - 2 𝑝 𝑞 .

Si

𝑞 = 𝑟 = 0, 25

, entonces

𝑝 = 0, 5

y las probabilidades son:

𝑃 (𝐺 𝐴) = 0, 5 (0, 5 + 2 \cdot 0, 25) 1 - 0, 252 - 2 \cdot 0, 5 \cdot 0, 25 = 811, 𝑃 (𝐺 𝐵) = 0, 25 (0, 25 + 2 \cdot 0, 25) 1 - 0, 252 - 2 \cdot 0, 5 \cdot 0, 25 = 311 .

Sean $𝑎$ , $𝑏$ y $𝑐$ los lados de un triángulo rectángulo, donde $𝑎$ y $𝑏$ son los catetos y $𝑐$ es la hipotenusa. Recordamos que una terna pitagórica es primitiva si $𝑎$ , $𝑏$ y $𝑐$ son primos relativos entre sí. Además, toda terna pitagórica es proporcional a una terna pitagórica primitiva.

Todas las ternas pitagóricas primitivas son de la forma: $⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑎 = 𝑚 2 - 𝑛 2, 𝑏 = 2 𝑚 𝑛, 𝑐 = 𝑚 2 + 𝑛 2, c o n 𝑚, 𝑛 \in ℕ y 𝑛 < 𝑚 .$ Observamos que si $𝑚$ y $𝑛$ son impares, entonces $𝑎$ , $𝑏$ y $𝑐$ son múltiplos de 2 y la terna no sería primitiva. Luego podemos suponer que $𝑚$ o $𝑛$ es par.

El producto de los catetos viene dado por: $𝑎 𝑏 = 2 𝑚 𝑛 (𝑚 2 - 𝑛 2) = 2 𝑚 𝑛 (𝑚 - 𝑛) (𝑚 + 𝑛) .$ Observamos que, como $𝑚$ o $𝑛$ es par, entonces $𝑎 𝑏$ es múltiplo de 4. Veamos que $𝑎 𝑏$ es también múltiplo 3 comprobando que lo es alguno de sus factores.
- Si $𝑚$ o $𝑛$ es múltiplo de 3, entonces $𝑎 𝑏$ también lo es.
- Si $m$ y $n$ no son múltiplos de 3, entonces: $\begin{align} m = 3k + 1 & \text{ o bien } m = 3k + 2, & & \text{con } k \in \mathbb{N} \cup \{0\}, \\ n = 3q + 1 & \text{ o bien } n = 3q + 2, & & \text{con } q \in \mathbb{N} \cup \{0\}. \end{align}$
  - Supongamos que: ${𝑚 = 3 𝑘 + 1, 𝑛 = 3 𝑞 + 1 o b i e n {𝑚 = 3 𝑘 + 2, 𝑛 = 3 𝑞 + 2 .$ Entonces: $𝑚 - 𝑛 = 3 𝑘 - 3 𝑞 = 3 (𝑘 - 𝑞) .$ Luego $𝑚 - 𝑛$ es múltiplo de 3, así que $𝑎 𝑏$ también lo es.
  - Supongamos que: ${𝑚 = 3 𝑘 + 1, 𝑛 = 3 𝑞 + 2 o b i e n {𝑚 = 3 𝑘 + 2, 𝑛 = 3 𝑞 + 1 .$ Entonces: $𝑚 + 𝑛 = 3 𝑘 + 3 𝑞 + 3 = 3 (𝑘 + 𝑞 + 1) .$ Luego $𝑚 + 𝑛$ es múltiplo de 3, así que $𝑎 𝑏$ también lo es.
Como el producto $𝑎 𝑏$ es múltiplo de 3 y 4, también es múltiplo de 12. Además, dado que todas las ternas pitagóricas son proporcionales a una terna pitagórica primitiva, se tiene que el producto de los catetos de cualquier triángulo rectángulo es múltiplo de 12.

Problema 2

Dada la función $f(x) = \frac{x^3}{(1+2x)^2}.$
1. Realizar la representación gráfica haciendo un estudio previo de sus propiedades.
2. Hallar el área comprendida entre la función $𝑓 (𝑥)$ , su asíntota oblicua y la recta $𝑥 + 𝑦 = 0$ .
Dado un cuadrilátero convexo $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ con área $𝑆$ . Se prolonga el lado $𝐴 𝐵$ por el punto $𝐵$ hasta un punto $𝑀$ de forma que la longitud de $𝐵 𝑀$ es igual a la mitad de la longitud del lado $𝐴 𝐵$ . De la misma forma, se prolonga el lado $𝐵 𝐶$ por el punto $𝐶$ hasta el punto $𝑁$ de forma que $𝐶 𝑁 = 12 𝐵 𝐶$ . El lado $𝐶 𝐷$ se prolonga por $𝐷$ hasta $𝑃$ tal que $𝐷 𝑃 = 12 𝐶 𝐷$ y por último el lado $𝐷 𝐴$ se prolonga por $𝐴$ hasta $𝑄$ , tal que $𝐴 𝑄 = 12 𝐷 𝐴$ . Hallar el área del cuadrilátero de vértices $𝑀 𝑁 𝑃 𝑄$ en función de $𝑆$ .

Resolución

El dominio de la función es

D o m (𝑓) = ℝ ∖ {- 12}

. Como se trata de una función racional, es continua e infinitamente derivable en su dominio. Es inmediato ver que su único punto de corte con los ejes de coordenadas es

(0, 0)

y no presenta simetría. Por comodidad, también podemos expresar la función como:

𝑓 (𝑥) = 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 2 = 𝑥 3 4 𝑥 2 + 4 𝑥 + 1 .

Estudiamos la existencia de asíntotas verticales. Para $𝑥 = - 12$ , $l í m 𝑥 \to - 12 - 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to - 12 - 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 2 = - \infty, l í m 𝑥 \to - 12 + 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to - 12 + 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 2 = - \infty .$ Luego la recta $𝑥 = - 12$ es una asíntota vertical.
Estudiamos la existencia de asíntotas horizontales y el comportamiento de la función en el infinito. Observamos que: $l í m 𝑥 \to - \infty 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to - \infty 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 2 = - \infty, l í m 𝑥 \to + \infty 𝑓 (𝑥) = l í m 𝑥 \to + \infty 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 2 = + \infty .$ Luego no tiene ninguna asíntota horizontal.
Estudiamos la existencia de asíntotas oblicuas. Observamos que: $l í m 𝑥 \to + \infty 𝑓 (𝑥) 𝑥 = l í m 𝑥 \to + \infty 𝑥 2 4 𝑥 2 + 4 𝑥 + 1 = 14 .$ Luego la función tiene una asíntota oblicua con pendiente $𝑚 = 14$ . Hallamos su ordenada en el origen. $𝑛 = l í m 𝑥 \to + \infty (𝑓 (𝑥) - 𝑚 𝑥) = l í m 𝑥 \to + \infty (𝑥 3 4 𝑥 2 + 4 𝑥 + 1 - 𝑥 4) = l í m 𝑥 \to + \infty 4 𝑥 3 - 4 𝑥 3 - 4 𝑥 2 - 𝑥 16 𝑥 2 + 16 𝑥 + 4 = = l í m 𝑥 \to + \infty - 4 𝑥 2 - 𝑥 16 𝑥 2 + 16 𝑥 + 4 = - 14 .$ Por tanto, la asíntota oblicua es $𝑦 = 14 𝑥 - 14 = 𝑥 - 1 4$ .

Para estudiar la monotonía la función, calculamos en primer lugar su derivada.

𝑓' (𝑥) = 3 𝑥 2 (1 + 2 𝑥) 2 - 𝑥 3 \cdot 2 (1 + 2 𝑥) \cdot 2 (1 + 2 𝑥) 4 = 3 𝑥 2 (1 + 2 𝑥) - 4 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 3 = 3 𝑥 2 + 6 𝑥 3 - 4 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 3 = 2 𝑥 3 + 3 𝑥 2 (1 + 2 𝑥) 3 .

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero.

𝑓' (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 2 𝑥 3 + 3 𝑥 2 (1 + 2 𝑥) 3 = 0 \Leftrightarrow 2 𝑥 3 + 3 𝑥 2 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 2 (2 𝑥 + 3) = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = 0, 2 𝑥 + 3 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = - 32 .

Estudiamos el signo de la derivada.

	$(- \infty, - 32)$	$(- 32, - 12)$	$(- 12, 0)$	$(0, + \infty)$
signo de $𝑓'$	$+$	$-$	$+$	$+$
monotonía de $𝑓$	$\to$	$\to$	$\to$	$\to$

Por tanto,

𝑓

es creciente en

(- \infty, - 32) \cup (- 12, + \infty)

y decreciente en

(- 32, - 12)

. Además, el punto

(- 32, - 2732)

es un máximo relativo.

Para estudiar la curvatura la función, calculamos en primer lugar su segunda derivada.

𝑓 ″ (𝑥) = (6 𝑥 2 + 6 𝑥) (1 + 2 𝑥) 3 - (2 𝑥 3 + 3 𝑥 2) \cdot 3 (1 + 2 𝑥) 2 \cdot 2 (1 + 2 𝑥) 6 = (6 𝑥 2 + 6 𝑥) (1 + 2 𝑥) - 6 (2 𝑥 3 + 3 𝑥 2) (1 + 2 𝑥) 4 = = 6 𝑥 2 + 12 𝑥 3 + 6 𝑥 + 12 𝑥 2 - 12 𝑥 3 - 18 𝑥 2 (1 + 2 𝑥) 4 = 6 𝑥 (1 + 2 𝑥) 4 .

Para hallar los candidatos a puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero.

𝑓 ″ (𝑥) = 0 \Leftrightarrow 6 𝑥 (1 + 2 𝑥) 4 = 0 \Leftrightarrow 6 𝑥 = 0 \Leftrightarrow 𝑥 = 0 .

Estudiamos el signo de la segunda derivada.

	$(- \infty, - 12)$	$(- 12, 0)$	$(0, + \infty)$
signo de $𝑓 ″$	$-$	$-$	$+$
monotonía de $𝑓$	$⌢$	$⌢$	$⌣$

𝑓

(0, + \infty)

(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0)

(0, 0)

Representamos la función. Figura

Representamos el recinto.
- Hallamos la abscisa del punto de corte $𝑃$ . $⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑦 = 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 2, 𝑦 = 𝑥 - 1 4 \Rightarrow 𝑥 3 (1 + 2 𝑥) 2 = 𝑥 - 1 4 \Leftrightarrow 4 𝑥 3 = (𝑥 - 1) (4 𝑥 2 + 4 𝑥 + 1) \Leftrightarrow \Leftrightarrow 4 𝑥 3 = 4 𝑥 3 + 4 𝑥 2 + 𝑥 - 4 𝑥 2 - 4 𝑥 - 1 \Leftrightarrow 3 𝑥 = - 1 \Leftrightarrow 𝑥 = - 13 .$
- Hallamos la abscisa del punto de corte $𝑄$ . ${𝑦 = 𝑥 - 1 4, 𝑥 + 𝑦 = 0 \Rightarrow 𝑥 - 1 4 = - 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 - 1 = - 4 𝑥 \Leftrightarrow 5 𝑥 = 1 \Leftrightarrow 𝑥 = 15 .$
Calculamos el área de los dos recintos $A_1$ y $A_2$ .
- El área del recinto $A_1$ viene dada por la integral definida: $A_1 = \int_{-\frac{1}{3}}^0 \left(\frac{x^3}{4x^2 + 4x + 1} - \frac{x-1}{4}\right)dx.$ Realizamos la división del primer sumando. $\frac{x^3}{4x^2 + 4x + 1} = \frac{x - 1}{4} + \frac{3x + 1}{4(4x^2 + 4x + 1)}.$ De esta forma, la integral queda: $A_1 = \int_{-\frac{1}{3}}^0 \left(\frac{x - 1}{4} + \frac{3x + 1}{4(4x^2 + 4x + 1)} - \frac{x - 1}{4}\right)dx = \frac{1}{4}\int_{-\frac{1}{3}}^0 \frac{3x + 1}{(1 + 2x)^2}dx.$ Expresamos el integrando como suma de fracciones simples. $\frac{3x + 1}{(1 + 2x)^2} = \frac{A}{1 + 2x} + \frac{B}{(1 + 2x)^2} = \frac{A(1 + 2x) + B}{(1 + 2x)^2} \Rightarrow 3x + 1 = A(1 + 2x) + B.$ Sustituimos para hallar los valores de $A$ y $B$ .
  - Si $𝑥 = - 12$ , entonces $- 32 + 1 = 𝐵 \Leftrightarrow 𝐵 = - 12$ .
  - Si $𝑥 = 0$ , entonces $1 = 𝐴 - 12 \Leftrightarrow 𝐴 = 32$ .
  Por tanto, $\begin{align} A_1 & = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} \int_{-\frac{1}{3}}^0 \frac{1}{1 + 2x}dx - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \int_{-\frac{1}{3}}^0 \frac{1}{(1 + 2x)^2}dx = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} \Big[\ln |1 + 2x|\Big]_{-\frac{1}{3}}^0 + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} \left[\frac{1}{1 + 2x}\right]_{-\frac{1}{3}}^0 = \\ & = \frac{3}{16} \cdot \left(-\ln\left(\frac{1}{3}\right)\right) + \frac{1}{16} \cdot (1 - 3) = \frac{3}{16}\ln(3) - \frac{1}{8} \; u^2. \end{align}$
- El recinto $𝐴 2$ es un triángulo de base $14$ y altura $15$ , con área: $𝐴 2 = 14 \cdot 15 2 = 140 𝑢 2 .$
Por tanto, el área del recinto es: $\mathbf{A} = A_1 + A_2 = \frac{3}{16}\ln(3) - \frac{1}{8} + \frac{1}{40} \; u^2.$

Representamos el cuadrilátero y sus prolongaciones, junto con todos los elementos que vamos a utilizar. Sea $S'$ el área del cuadrilátero $MNPQ$ , se tiene que: $\begin{align} S & = S_1 + S_2 + S_3 + S_4, \\ S' & = A_1 + A_2 + A_3 + A_4. \end{align}$
- Tomando de referencia el triángulo $𝐴 𝑄 𝑀$ , tenemos que: $𝐴 1 = 12 \cdot 𝐴 𝑄 \cdot 𝐴 𝑀 \cdot s e n (𝜋 - 𝛼) = 12 \cdot 𝑑 2 \cdot (𝑎 + 𝑎 2) \cdot s e n (𝛼) = 3 𝑎 𝑑 8 s e n (𝛼) .$ Fijándonos en el triángulo $𝐴 𝐵 𝐷$ , se tiene que: $𝑆 1 + 𝑆 2 = 12 𝑎 𝑑 s e n (𝛼) \Leftrightarrow s e n (𝛼) = 2 (𝑆 1 + 𝑆 2) 𝑎 𝑑 .$ Luego: $𝐴 1 = 3 𝑎 𝑑 8 \cdot 2 (𝑆 1 + 𝑆 2) 𝑎 𝑑 = 34 (𝑆 1 + 𝑆 2) .$
- Tomando de referencia el triángulo $𝐵 𝑀 𝑁$ , tenemos que: $𝐴 2 = 12 \cdot 𝐵 𝑀 \cdot 𝐵 𝑁 \cdot s e n (𝜋 - 𝛽) = 12 \cdot 𝑎 2 \cdot (𝑏 + 𝑏 2) \cdot s e n (𝛽) = 3 𝑎 𝑏 8 s e n (𝛽) .$ Fijándonos en el triángulo $𝐴 𝐵 𝐶$ , se tiene que: $𝑆 2 + 𝑆 3 = 12 𝑎 𝑏 s e n (𝛽) \Leftrightarrow s e n (𝛽) = 2 (𝑆 2 + 𝑆 3) 𝑎 𝑏 .$ Luego: $𝐴 2 = 3 𝑎 𝑏 8 \cdot 2 (𝑆 2 + 𝑆 3) 𝑎 𝑏 = 34 (𝑆 2 + 𝑆 3) .$
- De forma análoga, se tiene que: $𝐴 3 = 34 (𝑆 3 + 𝑆 4), 𝐴 4 = 34 (𝑆 4 + 𝑆 1) .$
Por tanto, $\begin{align} S' & = S + A_1 + A_2 + A_3 + A_4 = S + \frac{3}{4}(S_1 + S_2) + \frac{3}{4}(S_2 + S_3) + \frac{3}{4}(S_3 + S_4) + \frac{3}{4}(S_4 + S_1) = \\ & = S + \frac{3}{4}(2S_1 + 2S_2 + 2S_3 + 2S_4) = S + \frac{3}{2}(S_1 + S_2 + S_3 + S_4) = S + \frac{3}{2}S = \frac{5}{2}S. \end{align}$

Problema 4

En la ecuación $𝑥 2 + 𝐴 𝑥 + 𝐵 = 0$ , $𝐴$ y $𝐵$ son números reales elegidos al azar en los intervalos $[- 𝑎, 𝑎]$ y $[- 𝑏, 𝑏]$ respectivamente, siendo $𝑎$ y $𝑏$ números reales. Calcular la probabilidad de que tenga soluciones reales.
Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$
1. Calcular $𝐴 49$ y $𝐴 𝑛$ .
2. Sin hacer uso de la matriz inversa, hallar $𝑋$ en la ecuación $𝐴 2 𝑋 + 𝐼 = 𝐴$ , siendo $𝐼$ la matriz identidad.
Determinar todos los números de tres cifras en base 7, formados por cifras distintas entre sí y mayores que cero, que al ser convertidos a base 11 están representados por esas mismas tres cifras, aunque no necesariamente en el mismo orden.

Resolución

Como $A \in [-a, a]$ y $B \in [-b, b]$ , el área de la región factible es: $S_T = 2a \cdot 2b = 4ab \; u^2.$ La ecuación $x^2 + Ax + B = 0$ tiene solución si y solo si su discriminante es mayor o igual que cero, esto es: $A^2 - 4B \geq 0 \Leftrightarrow 4B \leq A^2 \Leftrightarrow B \leq \frac{A^2}{4}.$ Consideramos dos casos.
- Supongamos que $𝑎 2 4 \leq 𝑏$ . Representamos la región factible. El área de esta región viene dada por: $𝑆 𝐹 = 2 𝑎 𝑏 + 2 \int 𝑎 0 𝐴 2 4 𝑑 𝐴 = 2 𝑎 𝑏 + 2 [112 𝐴 3] 𝑎 0 = 2 𝑎 𝑏 + 16 𝑎 3 𝑢 2 .$ Por tanto, la probabilidad de que la ecuación tenga soluciones reales es: $𝑝 = 𝑆 𝐹 𝑆 𝑇 = 2 𝑎 𝑏 + 16 𝑎 3 4 𝑎 𝑏 = 12 + 𝑎 2 24 𝑏 .$
- Supongamos que $𝑎 2 4 > 𝑏$ . Los puntso de corte de $𝐵 = 𝐴 2 4$ y la recta $𝐵 = 𝑏$ vienen dados por: $𝐴 2 4 = 𝑏 \Leftrightarrow 𝐴 2 = 4 𝑏 𝑏 > 0 \Leftrightarrow 𝐴 = \pm 2 \sqrt 𝑏 .$ Representamos la región factible. El área de esta región viene dada por: $𝑆 𝐹 = 2 𝑎 𝑏 + 2 \int 2 \sqrt 𝑏 0 𝐴 2 4 𝑑 𝐴 + 2 𝑏 (𝑎 - 2 \sqrt 𝑏) = 2 𝑎 𝑏 + 2 [112 𝐴 3] 2 \sqrt 𝑏 0 + 2 𝑎 𝑏 - 4 𝑏 \sqrt 𝑏 = = 4 𝑎 𝑏 - 4 𝑏 \sqrt 𝑏 + 43 𝑏 \sqrt 𝑏 = 4 𝑎 𝑏 - 83 𝑏 \sqrt 𝑏 𝑢 2 .$ Por tanto, la probabilidad de que la ecuación tenga soluciones reales es: $𝑝 = 𝑆 𝐹 𝑆 𝑇 = 4 𝑎 𝑏 - 83 𝑏 \sqrt 𝑏 4 𝑎 𝑏 = 1 - 2 \sqrt 𝑏 3 𝑎 .$
1. Hallamos las primeras potencias de la matriz $A$ . $\begin{align} A^2 & = A \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \\ A^3 & = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I. \end{align}$ Así que: $A^{49} = A^{16 \cdot 3 + 1} = (A^3)^{16} \cdot A = I^{16} \cdot A = A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$ En general, dado $n \in \mathbb{N}$ , se tiene que:
  - Si existe $𝑘 \in ℕ$ tal que $𝑛 = 3 𝑘$ , entonces: $𝐴 𝑛 = 𝐴 3 𝑘 = (𝐴 3) 𝑘 = 𝐼 𝑘 = 𝐼 .$
  - Si existe $𝑘 \in ℕ$ tal que $𝑛 = 3 𝑘 + 1$ , entonces: $𝐴 𝑛 = 𝐴 3 𝑘 + 1 = (𝐴 3) 𝑘 \cdot 𝐴 = 𝐼 𝑘 \cdot 𝐴 = 𝐴 .$
  - Si existe $𝑘 \in ℕ$ tal que $𝑛 = 3 𝑘 + 2$ , entonces: $𝐴 𝑛 = 𝐴 3 𝑘 + 2 = (𝐴 3) 𝑘 \cdot 𝐴 2 = 𝐼 𝑘 \cdot 𝐴 2 = 𝐴 2 .$
2. Para resolver la ecuación matricial, multiplicamos por $𝐴$ por la izquierda. De esta forma, $𝐴 2 𝑋 + 𝐼 = 𝐴 \Leftrightarrow 𝐴 3 𝑋 + 𝐴 = 𝐴 2 \Leftrightarrow \Leftrightarrow 𝑋 = 𝐴 2 - 𝐴 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 02 11 - 1 - 1 - 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ - ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ - 1 - 2 - 2 121 0 - 1 - 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 024 0 - 1 - 2 - 1 01 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .$

Sea

𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑐 (7)

, con

𝑎, 𝑏, 𝑐 \in {1, 2, 3, 4, 5, 6}

y distintos. Por el teorema fundamental de los sistemas de numeración, se tiene que:

𝑛 = 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 .

Queremos hallar todos los números

𝑛

que se escriben en base 11 con las cifras

𝑎

,

𝑏

y

𝑐

. Como

𝑎

,

𝑏

y

𝑐

son distintos, los dígitos se pueden ordenar de

3! = 6

formas distintas. Estudiamos cada caso.

Caso 1: supongamos que $𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑐 (11)$ . Entonces: $𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑎 𝑏 𝑐 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑎 + 11 𝑏 + 𝑐 \Leftrightarrow 18 𝑎 + 𝑏 = 0 .$ Como $𝑎$ y $𝑏$ son mayores que cero, este caso no es posible.
Caso 2: supongamos que $𝑛 = 𝑎 𝑐 𝑏 (11)$ . Entonces: $𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑎 𝑐 𝑏 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑎 + 11 𝑐 + 𝑏 \Leftrightarrow 72 𝑎 + 10 𝑐 = 6 𝑏 \Leftrightarrow 36 𝑎 + 5 𝑐 = 3 𝑏 .$ Observamos que: $3 𝑏 = 36 𝑎 + 5 𝑐 \geq 36 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 46 \Rightarrow 𝑏 \geq 463 \geq 16 .$ Como $𝑏 \leq 6$ , este caso no es posible.
Caso 3: supongamos que $n = bac_{(11)}$ . Entonces: $abc_{(7)} = bac_{(11)} \Leftrightarrow 49a + 7b + c = 121b + 11a + c \Leftrightarrow 114b = 38a \Leftrightarrow 3b = a.$ Las únicas posibilidades son:
- Si $𝑏 = 1$ , entonces $𝑎 = 3$ y $𝑐 \in {2, 4, 5, 6}$ . Se obtienen los siguientes números: $312 (7), 314 (7), 315 (7), 316 (7) .$
- Si $𝑏 = 2$ , entonces $𝑎 = 6$ y $𝑐 \in {1, 3, 4, 5}$ . Se obtienen los siguientes números: $621 (7), 623 (7), 624 (7), 625 (7) .$

Caso 4: supongamos que

𝑛 = 𝑏 𝑐 𝑎 (11)

. Entonces:

𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑏 𝑐 𝑎 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑏 + 11 𝑐 + 𝑎 \Leftrightarrow 114 𝑏 + 10 𝑐 = 48 𝑎 \Leftrightarrow 57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 𝑎 .

Observamos que:

24 𝑎 = 57 𝑏 + 5 𝑐 \geq 57 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 67 \Rightarrow 𝑎 \geq 6724 \geq 3 .

Tenemos los siguientes casos.

Si $𝑎 = 3$ , entonces $57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 \cdot 3 = 72$ .
Si $𝑎 = 4$ , entonces $57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 \cdot 4 = 96$ .
Si $𝑎 = 5$ , entonces $57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 \cdot 5 = 120$ .
Si $𝑎 = 6$ , entonces $57 𝑏 + 5 𝑐 = 24 \cdot 6 = 144$ .

Por comodidad, organizaremos los distintos valores de

57 𝑏 + 5 𝑐

mediante la siguiente tabla.

	$𝑐 = 1$	$𝑐 = 2$	$𝑐 = 3$	$𝑐 = 4$	$𝑐 = 5$	$𝑐 = 6$
$𝑏 = 1$	$\times$	67	72	77	82	87
$𝑏 = 2$	119	$\times$	129	134	139	144

No es necesario calcular más, puesto que serían valores mayores que 144. Solo hay dos casos que debemos estudiar:

Si $𝑏 = 1$ y $𝑐 = 3$ , se tiene que $57 𝑏 + 5 𝑐 = 72 = 24 \cdot 3$ , así que $𝑎 = 3$ . Como hay dos dígitos iguales, tenemos que descartar este caso.
Si $𝑏 = 2$ y $𝑐 = 6$ , se tiene que $57 𝑏 + 5 𝑐 = 144 = 24 \cdot 6$ , así que $𝑎 = 6$ . Como hay dos dígitos iguales, tenemos que descartar este caso.

Por tanto, este caso no es posible.

Caso 5: supongamos que

𝑛 = 𝑐 𝑎 𝑏 (11)

. Entonces:

𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑐 𝑎 𝑏 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑐 + 11 𝑎 + 𝑏 \Leftrightarrow 120 𝑐 = 38 𝑎 + 6 𝑏 \Leftrightarrow 60 𝑐 = 19 𝑎 + 3 𝑏 .

Ha de ocurrir que

19 𝑎 + 3 𝑏

sea múltiplo de 60. Por comodidad, organizaremos los distintos valores de

19 𝑎 + 3 𝑏

mediante la siguiente tabla.

	$𝑏 = 1$	$𝑏 = 2$	$𝑏 = 3$	$𝑏 = 4$	$𝑏 = 5$	$𝑏 = 6$
$𝑎 = 1$	$\times$	25	28	31	34	37
$𝑎 = 2$	41	$\times$	47	50	53	56
$𝑎 = 3$	60	63	$\times$	69	72	75
$𝑎 = 4$	79	82	85	$\times$	91	94
$𝑎 = 5$	98	101	104	107	$\times$	113
$𝑎 = 6$	117	120	123	126	129	$\times$

Solo hay dos casos que debemos estudiar:

Si $𝑎 = 3$ y $𝑏 = 1$ , se tiene que $19 𝑎 + 3 𝑏 = 60 = 60 \cdot 1$ , así que $𝑎 = 1$ . Como hay dos dígitos iguales, tenemos que descartar este caso.
Si $𝑎 = 6$ y $𝑏 = 2$ , se tiene que $19 𝑎 + 3 𝑏 = 120 = 60 \cdot 2$ , así que $𝑎 = 2$ . Como hay dos dígitos iguales, tenemos que descartar este caso.

Por tanto, este caso no es posible.

Caso 6: supongamos que

𝑛 = 𝑐 𝑏 𝑎 (11)

. Entonces:

𝑎 𝑏 𝑐 (7) = 𝑎 𝑏 𝑐 (11) \Leftrightarrow 49 𝑎 + 7 𝑏 + 𝑐 = 121 𝑐 + 11 𝑏 + 𝑎 \Leftrightarrow 120 𝑐 + 4 𝑏 = 48 𝑎 \Leftrightarrow 30 𝑐 = 12 𝑎 - 𝑏 .

Observamos que:

12 𝑎 = 𝑏 + 30 𝑐 \geq 2 + 30 \cdot 1 = 33 \Rightarrow 𝑎 \geq 3312 \geq 3 .

Además, ha de ocurrir que

12 𝑎 - 𝑏

sea múltiplo de 30. Por comodidad, organizaremos los distintos valores de

12 𝑎 - 𝑏

mediante la siguiente tabla.

	$𝑎 = 3$	$𝑎 = 4$	$𝑎 = 5$	$𝑎 = 6$
$𝑏 = 1$	35	47	59	71
$𝑏 = 2$	34	46	58	70
$𝑏 = 3$	$\times$	45	57	69
$𝑏 = 4$	32	$\times$	56	68
$𝑏 = 5$	31	43	$\times$	67
$𝑏 = 6$	30	42	54	$\times$

Solo debemos estudiar un caso. Si

𝑎 = 3

y

𝑏 = 6

, se tiene que

12 𝑎 - 𝑏 = 30 = 30 \cdot 1

, así que

𝑐 = 1

. De esta forma, se obtiene el número

361 (7)

.

Por tanto, los números son:

312 (7), 314 (7), 315 (7), 316 (7), 621 (7), 623 (7), 624 (7), 625 (7), 361 (7) .

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