Matemáticas de oposiciones

Se eligen dos de los tres vértices de un triángulo cualquiera y se unen por un segmento con los puntos medios de los lados opuestos. Demuestre que el cuadrilátero y el triángulo más grande que se han formado tienen igual área.

Halle todas las soluciones formadas por números enteros de la ecuación: 𝑥21+𝑥22+𝑥23+𝑥24+𝑥25+𝑥26+𝑥27+𝑥28=𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5+𝑥6+𝑥7+𝑥8.

Elige el diámetro de una esfera de modo que, al introducirla en una copa con forma cónica de profundidad ℎ y ángulo cónico 2𝛼 que está llena de agua, se derrame la mayor cantidad de líquido posible.

Estudie el carácter de la siguiente serie: ∞∑𝑛=122𝑛2⋅4⋅6⋯2𝑛.

Sea 𝐵 una matriz cuadrada de tamaño 3 ×3 sobre ℝ. Indique cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuáles no:

1. Si rang(𝐵) =2, entonces rang(𝐵2) =2.
2. Si rang(𝐵) =3, entonces rang(𝐵3) =3.
3. Si rang(𝐵) =3, entonces rang(𝐵−1) =3.

Sea R ={𝑂;𝐮1,𝐮2} un sistema de referencia sobre el plano afín ℝ2. Se considera la curva que en dicha referencia tiene por ecuación: 𝑦2−𝑥2+3=0. Determine la ecuación de la simétrica de dicha curva respecto del punto 𝑃(1, −2).

Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales tales que 𝑎 +𝑏 =1 y 𝑎2 +𝑏2 =11. ¿Cuál es el valor de 𝑎5 +𝑏5?

Estudie la continuidad de la función real de variable real dada por 𝑓(𝑥)=ln⁡(𝑥2−3𝑥+2)ln⁡(𝑥2−7𝑥+12).

Demuestre que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal.

Si cada una de estas dos líneas divide este área en dos partes iguales, ¿cuál es la más grande, el área 𝐴, el área 𝐵 o no es posible decirlo?

En el rectángulo 𝑃𝑄𝑅𝑆 siguiente, el punto 𝑇 se mueve a lo largo de la diagonal 𝑃𝑅 del rectángulo. Demuestre que: 𝑎2+𝑏2=𝑐2+𝑑2.

Halle todas las soluciones de la ecuación (1 +𝑖)𝑧3 −2𝑖 =0.

Se elige un punto 𝑃 en el interior de un triángulo equilátero y se llaman 𝐴′, 𝐵′ y 𝐶′ a las proyecciones ortogonales respectivas de 𝑃 sobre los lados 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 y 𝐴𝐵 del triángulo. Demuestre que la suma de longitudes 𝑃𝐴′ +𝑃𝐵′ +𝑃𝐶′ coincide con la altura del triángulo equilátero.

Se elige al azar un punto en el interior de un cuadrado. Calcule la probabilidad de que esté más próximo a algún vértice que al centro del cuadrado.

Calcule: 𝐸=lím𝑛→∞⁡[11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+1(𝑛−1)𝑛+1𝑛(𝑛+1)].

¿Es posible encontrar tres números naturales 𝑎, 𝑏 y 𝑐, ninguno de ellos cuadrado perfecto, tales que √𝑎 +√𝑏 =√𝑐?

Sea 𝑓 :ℝ2 →ℝ2 la aplicación dada por 𝑓(𝑥,𝑦)=(3𝑥+2𝑦,0). y sea 𝑔 :ℝ2 →ℝ2 otra aplicación. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

1. Si existe 𝑔−1, entonces existe (𝑔 ∘𝑓)−1.
2. Si existe 𝑔−1, entonces existe (𝑓 ∘𝑔)−1.
3. No existe ni (𝑔 ∘𝑓)−1 ni (𝑓 ∘𝑔)−1.

Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones continuas de ℝ en ℝ con la topología usual. Pruebe que el conjunto 𝐴={𝑥∈ℝ:𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)} es cerrado para dicha topología.

Halle la parte real del número complejo (𝑎 +𝑏𝑖)𝑛, donde 𝑎 y 𝑏 son las raíces que tienen en común los polinomios: 𝑥4 −3𝑥3 +3𝑥2 −3𝑥 +2 y 2𝑥3 −5𝑥2 +𝑥 +2, y 𝑛 es la base del sistema de numeración en el que los números 123(𝑛), 140(𝑛) y 156(𝑛) están en progresión aritmética.

Un número natural tiene dos factores primos y ocho divisores naturales. La suma de sus divisores es 320. Determine dicho número.

Se considera la familia de circunferencias dada por la ecuación: 𝑥2+𝑦2−2𝑎𝜆𝑥+𝜆2−𝑏2=0, donde 𝑎 y 𝑏 son constantes y 𝜆 ∈ℝ es un parámetro. Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos de contacto de las tangentes a estas circunferencias que son paralelas al eje 𝑂𝑋 y estudie su naturaleza.

Determine la probabilidad de extraer una bola blanca de una urna que contiene cuatro bolas de dos colores: blanco y rojo, supuesto que las distintas composiciones de la urna son igualmente probables.

En un Instituto de Enseñanza Secundaria hay matriculados ciertos estudiantes. Un día, el señor conserje observa que, de los asistentes a clase, el 36,363636...% son mujeres y el 67,567567...% vestía pantalón vaquero. ¿En qué intervalo se encuentra el número de alumnos que faltaron a clase ese día?

1. Entre 65 y 73.
2. Entre 74 y 82.
3. Entre 83 y 91.

Demuestre que si 𝑓 es un endomorfismo de un espacio vectorial 𝐸, una condición necesaria y suficiente para que 𝑓2 =𝑓 ∘𝑓 sea la aplicación nula es que Im𝑓 ⊂Ker⁡𝑓.

Discuta, según los valores reales de 𝑎 y 𝑏, el sistema siguiente y resuélvalo cuando sea compatible determinado. ⎧{ {⎨{ {⎩𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑧=1,𝑥+𝑎𝑏𝑦+𝑧=𝑏,𝑥+𝑏𝑦+𝑎𝑧=1.