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📋 Examen de 2018 de Castilla la Mancha

Problema 1

Demuestre que todos los términos de la sucesión {𝑎𝑛} son múltiplos de 600, donde 𝑎𝑛=(𝑛2−1)(𝑛2+1)(𝑛4−16)𝑛2.

Problema 2

Demuestre que una recta 𝑑 que divide a un triángulo △𝐴𝐵𝐶 en dos polígonos del mismo perímetro y de la misma área pasa por el centro de la circunferencia inscrita al triángulo △𝐴𝐵𝐶.

Problema 3

Una variable aleatoria 𝑋 tiene una función de densidad dada por 𝑓(𝑥)={0,si 𝑥≤0,𝑘𝑥𝑒−𝑥2,si 𝑥>0.

  1. Halle el valor de 𝑘 para que, en efecto, sea una función de densidad de probabilidad.
  2. Halle la función de distribución de la variable aleatoria 𝑋 y calcule la probabilidad 𝑃( −1 ≤𝑋 ≤1).
  3. Determine el valor de la moda y de la mediana.
  4. Halle el valor esperado de 𝑋 y su varianza.

Resolución
  1. Observamos que: ∫ℝ𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫∞0𝑘𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥=−𝑘2[𝑒−𝑥2]∞0=𝑘2. Para que 𝑓 sea una función de densidad, ha de verificarse que: ∫ℝ𝑓(𝑥)𝑑𝑥=1⇔𝑘2=1⇔𝑘=2.
  2. La función de distribución 𝐹 viene dada por: 𝐹(𝑥)=∫𝑥−∞𝑓(𝑡)𝑑𝑡.
    • Para 𝑥 ≤0, 𝐹(𝑥) =0.
    • Para 𝑥 >0, 𝐹(𝑥)=∫𝑥02𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥=[−𝑒−𝑥2]𝑥0=1−𝑒−𝑥2.
    Por tanto, 𝐹(𝑥)={0,si 𝑥≤0,1−𝑒−𝑥2,si 𝑥>0. Así que la probabilidad es: 𝑃(−1≤𝑋≤1)=𝐹(1)−𝐹(−1)=1−𝑒−1=1−1𝑒≈0,6321.
    • La moda de 𝑋 es el valor que maximiza la función de distribución 𝑓. Para 𝑥 >0, la función 𝑓 es derivable con: 𝑓′(𝑥)=2𝑒−𝑥2−4𝑥2𝑒−𝑥2=−2𝑒−𝑥2(2𝑥2−1). Hallamos los puntos críticos para 𝑥 >0 igualando la derivada a cero. 𝑓′(𝑥)=0⇔−2𝑒−𝑥2(2𝑥2−1)=0⇔2𝑥2−1=0⇔𝑥=1√2. Estudiamos el signo de la derivada.
      • Si 0 <𝑥 <1√2, 𝑓′(𝑥) >0. Así que 𝑓 es creciente.
      • Si 𝑥 >1√2, 𝑓′(𝑥) <0. Así que 𝑓 es decreciente.
      Luego 𝑓 alcanza su máximo absoluto en 𝑥 =1√2. Por tanto, la moda de 𝑋 es 1√2.
    • La mediana de 𝑋 es el valor 𝑥0 tal que 𝑃(𝑋 <𝑥0) =12. Se tiene que: 𝑃(𝑋<𝑥0)=12⇔𝐹(𝑥0)=12⇔1−𝑒−𝑥20=12⇔𝑒−𝑥20=12⇔𝑒𝑥20=2⇔𝑥0=√ln⁡(2). Por tanto, la mediana de 𝑋 es √ln⁡(2).
    • La esperanza de 𝑋 viene dada por: 𝐸(𝑋)=∫ℝ𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫∞02𝑥2𝑒−𝑥2𝑑𝑥. Integramos por partes. 𝑢=𝑥⇒𝑢′=1,𝑣′=2𝑥𝑒−𝑥2⇒𝑣=−𝑒−𝑥2. Por tanto, 𝐸(𝑋)=∫∞02𝑥2𝑒−𝑥2𝑑𝑥=[−𝑥𝑒−𝑥2]∞0+∫∞0𝑒−𝑥2𝑑𝑥=√𝜋2.
    • La varianza de 𝑋 viene dada por: 𝑉(𝑋)=𝐸(𝑋2)−𝐸(𝑋)2=∫ℝ𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥−𝜋4=∫∞02𝑥3𝑒−𝑥2𝑑𝑥−𝜋4. Integramos por partes. 𝑢=𝑥2⇒𝑢′=2𝑥,𝑣′=2𝑥𝑒−𝑥2⇒𝑣=−𝑒−𝑥2. Por tanto, 𝑉(𝑋)=∫∞02𝑥3𝑒−𝑥2𝑑𝑥−𝜋4=[−𝑥2𝑒−𝑥2]∞0+∫∞02𝑥𝑒−𝑥2𝑑𝑥−𝜋4=1−𝜋4.