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📋 Examen de 2002 de Islas Baleares

Problema 1

Encuentre las soluciones reales del sistema de ecuaciones: {3(𝑥2+𝑦2+𝑧2)=1,𝑥2𝑦2+𝑦2𝑧2+𝑧2𝑥2=𝑥𝑦𝑧(𝑥+𝑦+𝑧)3.

Problema 2

Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐, respectivamente, las alturas correspondientes a los vértices 𝐴, 𝐵 y 𝐶 de un triángulo 𝐴𝐵𝐶. Demuestre que si 𝑎 =𝑏 +𝑐, entonces la recta determinada por los pies de las bisectrices interiores de los ángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐵𝐶𝐴 pasa por el baricentro del triángulo.

Problema 3

Un avión de una determinada compañía debe realizar un viaje entre dos ciudades con un total de 𝑚 +𝑛 escalas. En cada escala, el avión ha de cargar o descargar una tonelada de una cierta mercancía y realiza cargas en 𝑚 de las escalas y descargas en las 𝑛 restantes. En la compañía nadie ha reparado en que el avión no soporta una carga mayor que 𝑘 toneladas (𝑛 <𝑘 <𝑚 +𝑛), y las escalas de carga y descarga se distribuyen al azar. Si el avión sale con 𝑛 toneladas de la mercancía, calcule la probabilidad de que llegue a su destino.

Problema 4

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

  1. Demuestre que para cualquier número real 𝑥 >0 ocurre que: 𝑥𝑥22<ln(1+𝑥)<𝑥.
  2. Calcule: lím𝑛[(1+1𝑛2)(1+2𝑛2)(1+𝑛𝑛2)].

Problema 5

Calcule el área limitada por la gráfica de la función 𝑓 :𝑥 𝑒𝑥sen(𝑥) y el semieje positivo 𝑂𝑋.

Problema 6

Demuestre que cualquier aplicación lineal de en es una función continua.

Problema 7

En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 la bisectriz interior del ángulo 𝐵𝐴𝐶 corta al lado 𝐵𝐶 en el punto 𝐷. Sea Γ la circunferencia que pasa por 𝐴 y es tangente a 𝐵𝐶 en el punto 𝐷. Si 𝑀 es el otro punto de intersección de Γ con el lado 𝐴𝐶 y la recta 𝐵𝑀 corta a la circunferencia Γ en el punto 𝑃, demuestre que 𝐴𝑃 es una mediana del triángulo 𝐴𝐵𝐷.

Problema 8

Demuestre que tg15 º tg25 º tg35 º tg85 º =1.

Problema 9

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

  1. Demuestre que ln(1 +𝑥) 𝑥, para cualquier 𝑥 , 𝑥 0.
  2. Demuestre que si 𝑎 es un número real positivo, entonces: lím𝑛𝑛10𝑥𝑛𝑎+𝑥𝑛𝑑𝑥=ln(𝑎+1𝑎).

Problema 10

Se considera la siguiente ecuación en la que 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales estrictamente positivos y 𝜆 : 𝑥2+(𝑎+𝑏+𝑐)𝑥+𝜆(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)=0.

  1. Demuestre que si 𝜆 34, las soluciones de la ecuación son reales.
  2. Demuestre que si 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son las longitudes de los lados de un triángulo y 𝜆 1, la ecuación carece de soluciones reales.

Problema 11

Dada una esfera 𝑆 en 3 y un plano ecuatorial 𝜋 de la misma, determine el lugar geométrico de los vértices de los conos circunscritos a la esfera 𝑆 cuya intersección con el plano 𝜋 es una parábola.

Problema 12

Demuestre que todo número complejo 𝑧 1 y tal que |𝑧| =1 puede escribirse en la forma: 𝑧=1+𝑎𝑖1𝑎𝑖, donde 𝑎 es un parámetro real que debe determinarse.

Problema 13

Un vaso cilíndrico de radio 𝑟 y altura está inclinado de modo que el agua del interior biseca la base y toca el borde superior del vaso. Halle el volumen del agua contenida en el vaso.

Problema 14

Demuestre que el número 𝑁 =512515251 es compuesto.

Problema 15

La aplicación 𝑓 : cumple, para cualesquiera 𝑚,𝑛 , que: 𝑓(𝑚2+𝑓(𝑛))=𝑓(𝑚)2+𝑛. Demuestre que:

  1. 𝑓(0) =0.
  2. 𝑓(1) =1.
  3. 𝑓(𝑛) =𝑛, para todo 𝑛 .

Problema 16

Resuelva la ecuación siguiente, en la que 𝑎 es un número complejo: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1𝑎𝑎+𝑥𝑎+𝑥2𝑎1𝑎+𝑥2𝑎+𝑥𝑎+𝑥𝑎+𝑥21𝑎𝑎+𝑥2𝑎+𝑥𝑎1∣ ∣ ∣ ∣ ∣=0.