Exámenes

📋 Examen de 2018 de Castilla y León

Problema 1

Álgebra

Halle el número de $𝑛$ -uplas $(𝑎 1, \dots, 𝑎 𝑛)$ cuyas componentes son números enteros $𝑎 𝑖$ positivos y que satisfacen las tres ecuaciones siguientes: $𝑛 \sum 𝑖 = 1 𝑎 𝑖 = 26, 𝑛 \sum 𝑖 = 1 𝑎 2 𝑖 = 72 y 𝑛 \sum 𝑖 = 1 𝑎 3 𝑖 = 224 .$

Problema 2

Análisis

Sea $𝑓 : [0, 1] \to [0, + \infty)$ una función continua tal que $𝑓 (0) = 𝑓 (1) = 0 y 𝑓 (𝑥) > 0 p a r a t o d o 𝑥 \in (0, 1) .$ Demuestre que existe un cuadrado con dos vértices en el eje de abscisas y otros dos en la gráfica de $𝑓 .$

Problema 3

Análisis

Si $𝑥 1 = \sqrt 2$ y $𝑥 𝑛 + 1 = \sqrt 2 𝑥 𝑛 1 + 𝑥 𝑛$ , halle $\prod \infty 𝑛 = 1 𝑥 𝑛 .$

Problema 4

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones, que son independientes entre sí:

Sean $C$ una circunferencia y en ella dos puntos distintos $𝐴$ y $𝐵$ no diametralmente opuestos. Describir el lugar geométrico de los ortocentros de los triángulos $△ 𝐴 𝐵 𝐶$ , donde $𝐶$ es un punto de $C$ distinto de $𝐴$ y $𝐵 .$
¿Para qué valores de $𝑎 > 0$ se cumple que si se eligen al azar los números $𝑏, 𝑐 \in [0, 𝑎]$ la probabilidad de que la distancia en el plano complejo de las raíces del polinomio $𝑧 2 + 𝑏 𝑧 + 𝑐$ no sea mayor que 1, no sea menor que $14$ ?

📋 Examen de 2018 de Castilla y León🖨️ Imprimir

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

📋 Examen de 2018 de Castilla y León