Matemáticas de oposiciones

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Dadas las matrices: 𝐴=⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝0000200022002200⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠,𝐵=𝐼+𝐴 y un número entero positivo 𝑛, calcule 𝐴𝑛 y demuestre que la inversa de 𝐵 es la matriz 𝐼 −𝐴 +𝐴2, donde 𝐼 es la matriz identidad de orden 4.
2. Sea 𝑃 un polinomio de grado 𝑛 ≥1 con coeficientes reales tal que para cierto 𝑎 ∈ℝ es 𝑃(𝑘)(𝑎) >0 para 0 ≤𝑘 ≤𝑛, donde entendemos 𝑃(0) =𝑃. Demuestre que 𝑎 acota superiormente a todas las raíces reales de 𝑃.

Responda a las siguientes cuestiones independientes entre sí:

1. Calcule la suma finita 𝑆=7+77+777+⋯+𝑛⏞77…7.
2. En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se extrae al azar una bola, obteniéndose el número 𝑎. Se devuelve la bola a la urna y se repite el proceso dos veces más, obteniéndose los números 𝑏 y 𝑐. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema {𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=02𝑥+3𝑦=0 sea incompatible?

Dos amigos 𝐴 y 𝐵 se citan en un determinado lugar de la siguiente forma: Ambos llegarán en momentos al azar del intervalo [0,𝑇] (en minutos) e independientemente el uno del otro. Si 𝐴 está dispuesto a esperar 𝑎 minutos y 𝐵 está dispuesto a esperar 𝑏 minutos, siendo 0 <𝑎,𝑏 <𝑇, se pide:

1. Calcule la probabilidad de que 𝐴 llegue antes que 𝐵.
2. Determine la probabilidad de que ambos se encuentren.
3. Supuesto que ambos se encuentran, calcule la probabilidad de que 𝐵 haya llegado antes que 𝐴.

Se da la circunferencia C :𝑥2 +𝑦2 −2𝑎𝑥 =0 y la recta 𝑟 :𝑥 =2𝑎, siendo 𝑎 >0. Una recta variable 𝑠 que pasa por el origen 𝑂(0,0) corta a la circunferencia C en un punto 𝐴 distinto de 𝑂 y a la recta 𝑟 en un punto 𝐵.

1. Halle la ecuación cartesiana del lugar geométrico P de los puntos 𝑃 ∈𝑠 tales que 𝑂𝑃 =𝐴𝐵, al variar 𝑠.
2. Estudie y represente la curva cuya ecuación es la obtenida en (a).
3. Si dicha curva girase alrededor de su asíntota, indique cómo se obtendría la expresión del volumen limitado por la superficie engendrada (no es preciso calcularlo).

Un lazo corredizo formado por una cuerda de longitud 𝑙, se envuelve en una columna cilíndrica de radio 𝑟 perfectamente lisa, estando sujeto al extremo libre de la cuerda. Averigüe a qué distancia de la columna está el lazo corredizo en el momento en que la cuerda está completamente tensa.

Resuelva, en el campo ℂ de los números complejos, la ecuación 5tg⁡(𝑧)=2sen2⁡(𝑧)+3cos2⁡(𝑧).