Matemáticas de oposiciones

Sea 𝑃3 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3. Sean 𝑆1={1+𝑥,1−𝑥2},𝑆2={1,1−𝑥,𝑥3} dos subespacios de 𝑃3 y 𝐿1 y 𝐿2 sus sistemas generadores.

1. Hallar una base de 𝐿1 ∩𝐿2.
2. Sea 𝑓 :𝑃3 →𝑃3 un endomorfismo dado por: 𝑓(𝑝(𝑥))=𝑥𝑝(𝑥)+𝑘𝑥2𝑝″(𝑥). Hallar la matriz de 𝑓 en la base canónica y los valores de 𝑘 para los que la dimensión de Ker⁡(𝑓) >1.
3. Obtener una base de Ker⁡(𝑓) para los valores de 𝑘 obtenidos.

Sea la suma: ∞∑𝑛=1𝑥𝑛+1𝑛(𝑛+1).

1. Calcular 𝑥 para que sea convergente.
2. Calcular la suma.

Dada la cúbica 𝑥𝑦2 =1, se pide:

1. ¿Cuántas tangentes a ella se pueden trazar desde un punto cualquiera 𝑀(𝑥,𝑦)?
2. Lugar geométrico de los puntos 𝑀 para los cuales dos de estas tangentes son perpendiculares entre sí.

En las fiestas de San Juan de Soria desfilan por el centro de la ciudad el Domingo de Calderas 6 peñas. Un grupo de 10 personas decide apuntarse cada una a una sola peña de forma independiente y aleatoria. Sea 𝑅 el número de peñas a las que no se apunta ninguna de esas 10 personas.

1. Calcular la esperanza y la varianza de la variable 𝑅.
2. Generalizar el resultado anterior cuando el grupo sea de 𝑁 personas y 𝑘 peñas.