Exámenes

📋 Examen de 2018 de Murcia

Problema 1

Análisis

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

Demuestre que para cualquier sucesión de números enteros ${𝑎 𝑛}$ , la sucesión ${𝑏 𝑛}$ dada por $𝑏 1 = 𝑎 1, 𝑏 2 = 𝑎 𝑎 2 1, 𝑏 3 = 𝑎 𝑎 𝑎 3 2 1, \dots$ se hace constante módulo $𝑚$ para cualquier número natural $𝑚 .$
Utilice el apartado anterior para demostrar que en la sucesión $7, 77, 777, 7777, \dots$ la cifra de las unidades se hace constante y calcule dicha cifra.

Problema 2

Álgebra

Sean $𝑎$ y $𝑏$ números reales y $𝐴 𝑛 \in M 𝑛 (ℝ)$ definida como $𝐴 𝑛 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 00 \dots 0 𝑎 𝑏 - 1 0 \dots 0 𝑎 2 𝑎 𝑏 𝑏 - 1 \dots 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛 - 1 𝑎 𝑛 - 2 𝑏 𝑎 𝑛 - 3 𝑏 𝑎 𝑛 - 4 𝑏 \dots 𝑏 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ para cada $𝑛 \geq 3 .$ Halle:

El determinante de $𝐴 𝑛 .$
Ecuaciones implícitas del subespacio vectorial de $ℝ 𝑛$ generado por los vectores columna de $𝐴 𝑛 .$
La dimensión del cociente $ℝ 𝑛 / K e r 𝑓$ , donde $𝑓 : ℝ 𝑛 \to ℝ 𝑛$ es la aplicación lineal cuya matriz respecto de la base canónica de $ℝ 𝑛$ es $𝐴 𝑛 .$

Problema 3

Análisis

Sea $𝑏$ un número real positivo.

Pruebe que si $𝑓 : ℝ \to ℝ$ es una función continua tal que $𝑓 (0) = 0$ y $𝑓' (𝑥) = 1 1 + 𝑏 𝑒 𝑓 (𝑥),$ entonces $𝑓 (𝑥) \leq 𝑥 𝑏$ para cada $𝑥 > 0 .$
Sea $𝑎$ un número real positivo. Calcule: $\int 𝑎 0 \int 𝑏 0 𝑒 m á x {𝑎 2 𝑥 2 𝑏 2, 𝑦 2} 𝑑 𝑥 𝑑 𝑦 .$

Problema 4

Geometría

Sean $𝐴$ , $𝐵$ , $𝐶$ y $𝐷$ cuatro puntos en una esfera de radio $𝑟$ tales que los puntos $𝐴$ , $𝐵$ y $𝐶$ forman un triángulo rectángulo en el plano que los contiene.

Determine el volumen del tetraedro de vértices $𝐴$ , $𝐵$ , $𝐶$ y $𝐷$ y estudie si $23 𝑟 3$ es una cota superior para ese volumen. En su caso, determine, si existe, un tetraedro con volumen $23 𝑟 3 .$
Determine el volumen del tetraedro de vértices $𝐴 1$ , $𝐵 1$ , $𝐶 1$ y $𝐷$ , donde $𝐴 1$ , $𝐵 1$ y $𝐶 1$ son, respectivamente, los puntos medios de los lados $𝐵 𝐶$ , $𝐴 𝐶$ y $𝐴 𝐵 .$

Problema 5

Probabilidad

Una prueba de selección en una empresa de análisis de datos consiste en realizar una jornada laboral de 8 horas, donde el aspirante debe emitir los análisis que le soliciten, igual que el resto de trabajadores. La empresa sabe que el tiempo estimado por los aspirantes para realizar un análisis sigue una distribución normal con media $𝜇$ y desviación típica $𝜇 10 .$