Matemáticas de oposiciones

Sea 𝑇 la transformación lineal del espacio vectorial tridimensional ℝ3 que cumple las siguientes condiciones (referidas a la base canónica de ℝ3):

• La restricción de 𝑇 al subespacio 𝑈 :𝑥 +𝑦 −𝑧 =0 es una homotecia de razón 4.
• 𝑇 transforma el subespacio 𝑉 {2𝑥+4𝑦+3𝑧=0,𝑥+𝑦+𝑧=0 en sí mismo.
• 𝑇(3,0, −1) =(6, −6,8).

Halle la parte entera de la suma 𝑆=1√1+1√2+1√3+⋯+1√106.

En el espacio afín euclídeo usual ℝ3 se consideran la circunferencia 𝐶 y la recta 𝑟 siguientes: 𝐶:{𝑥2+𝑦2=1𝑧=0y𝑟:{𝑦=0𝑧=1..

1. Halle el lugar geométrico 𝑆 que determinan las rectas que se apoyan en la circunferencia 𝐶 y en la recta 𝑟 y son paralelas al plano 𝑥 =0.
2. Calcule el volumen del sólido que delimitan la superficie 𝑆 del apartado anterior y el plano 𝑧 =0.

En una circunferencia se eligen 𝑛 puntos al azar y de manera independiente. Calcule la probabilidad de que los 𝑛 puntos estén situados en un mismo arco de 𝛼 radianes (𝛼 <𝜋).