Matemáticas de oposiciones

Sean 𝑓 y 𝑔 dos endomorfismos del espacio vectorial ℝ3 definidos para todo (𝑥,𝑦,𝑧) ∈ℝ3 como sigue: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=(𝑥+𝑦,2𝑥−𝑧,2𝑦+𝑧),𝑔(𝑥,𝑦,𝑧)=(𝑥,𝑦,0).

1. Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión del núcleo de 𝑓 y del núcleo de 𝑔.
2. Halle una base, unas ecuaciones y la dimensión de la imagen de 𝑓 y de la imagen de 𝑔.
3. Determine las matrices asociadas a los endomorfismos 𝑓, 𝑔, 𝑓 ∘𝑔 y 𝑔 ∘𝑓 en la base canónica de ℝ3.

Se consideran los puntos 𝐴(𝑎,0) y 𝐴′( −𝑎,0), donde 𝑎 >0, y un punto 𝑀 variable sobre la recta 𝑟 de ecuación 𝑦 =𝑥 +1. Desde 𝐴 se traza la perpendicular a la recta 𝐴′𝑀 y desde 𝐴′ se traza la recta perpendicular a 𝐴𝑀, cortándose ambas rectas en un punto 𝑄. Determine el lugar geométrico de los puntos 𝑄 según los valores positivos de 𝑎 y clasifíquelo.

Dada la función real de variable real definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3(1+𝑥)2.

1. Represente gráficamente la función 𝑓 haciendo un estudio previo de sus propiedades.
2. Halle el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la función, la asíntota oblicua de la curva 𝑦 =𝑓(𝑥) y la recta 4𝑦 +7𝑥 −8 =0.

De una urna con 𝑟 bolas negras y 𝑁 −𝑟 bolas blancas se extraen 𝑛 bolas consecutivamente y sin reemplazamiento (𝑛 ≤𝑁). Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria 𝑋 que da el número de bolas negras extraídas.