Matemáticas de oposiciones

Determine el número máximo de puntos de intersección de las diagonales de un polígono convexo de 𝑛 lados:

1. Contenidos en el interior del polígono.
2. Contenidos en el exterior del polígono.

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. En una división se conocen el dividendo 258.728 y los restos sucesivos que se obtuvieron al ir efectuando la división, que son 379, 480 y 392. Hallar el divisor y el cociente. ¿Existe más de una solución?
2. Justifique la relación de este problema con el currículo de una materia de esta especialidad.

Las circunferencias C0,C1,…,C𝑛,… son tangentes a dos rectas 𝑎 y 𝑏 que se cortan en un punto 𝑃, y cada 𝐶𝑛 es tangente a la siguiente de menor radio, que es 𝐶𝑛+1. Llamaremos 𝑂𝑛 al centro de la circunferencia 𝐶𝑛, 𝑟𝑛 a su radio, 𝐴𝑛 a su punto de tangencia con la recta 𝑎, 𝑇𝑛 a su punto de tangencia con 𝐶𝑛+1 y 𝑑𝑛 a la distancia de 𝑃 a 𝑂𝑛. Sean, además, 𝑟0 =3 y 𝑑0 =12.

1. Exprese 𝑟𝑛 y 𝑑𝑛 en función de 𝑛.
2. Calcule el límite de la suma de las áreas de todos los círculos.
3. Pruebe que los triángulos △𝐴𝑛𝑇𝑛𝐴𝑛+1 son semejantes y rectángulos en 𝑇𝑛.

El conjunto 𝐹 formado por las funciones 𝑓 :[0,1] →ℝ dotado con las operaciones: (𝑓+𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)y(𝑓⋅𝑔)(𝑥)=𝑓(𝑥)⋅𝑔(𝑥) es un anillo conmutativo y unitario. Consideremos un subanillo 𝐴 de 𝐹 que contiene a las funciones constantes y para cada 𝑥 ∈[0,1] consideramos la función evaluación en 𝑥 definida por ev𝑥:𝐴→ℝ,𝑓↦𝑓(𝑥).

1. Pruebe que para cada 𝑥 ∈[0,1] el núcleo Ker⁡ev𝑥 es un ideal maximal de 𝐴.
2. ¿Es cierto que para cada ideal maximal 𝑚 de 𝐴 existe un punto 𝑥 ∈[0,1] tal que 𝑚 =Ker⁡ev𝑥? En caso afirmativo, demuéstrese y en caso negativo búsquese un ejemplo que lo avale.

Se llama cicloide a la curva que describe un punto de una circunferencia cuando ésta rueda a lo largo de una recta.

1. Halle unas ecuaciones paramétricas de la cicloide utilizando como parámetro el ángulo que describe el giro efectuado por la circunferencia al rodar.
2. Utilice el resultado de (a) para determinar la longitud de un arco de cicloide.

Una persona ha comprado entradas para el cine para personas adultas a 640 unidades monetarias cada una y para menores de edad a 330 unidades monetarias cada una. Sabiendo que invirtió 7.140 unidades monetarias en la compra y que compró menos entradas de adultos que de menores, halle el número de entradas de cada tipo que adquirió.

Dadas dos circunferencias que no tienen puntos en común, calcule el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a ambas.

La función de densidad de probabilidad conjunta de una variable aleatoria bidimensional (𝑋,𝑌) es uniforme en el recinto sombreado de la figura.

1. Halle la función de densidad de probabilidad conjunta y compruebe que lo es.
2. Calcule 𝑃(𝑋 <𝑑2,𝑌 <𝑑4).
3. Halle las funciones de densidad marginales de probabilidad y compruebe que lo son.

1. Dada una cadena formada por 16 círculos tangentes de radio 𝑟 como en la figura, demostrar que la diferencia entre la superficie sombreada y la superficie en blanco permanece constante independientemente de la colocación de la cadena. Expresar dicha diferencia en función del radio del círculo.
2. Justifique la relación de este problema con el currículo de una materia de esta especialidad.