Matemáticas de oposiciones

Calcule razonadamente el siguiente límite: 𝐸=lím𝑥→0⁡1𝑥3(𝑥−12∫2𝑥0sen⁡(𝑡)𝑡𝑑𝑡).

En una olimpiada de Matemáticas participan estudiantes de varios países. En la fiesta de integración de la Olimpiada, los estudiantes del mismo país no se saludan pues ya se conocen entre ellos, y pueden o no saludar a los participantes de otros países, a los cuales no conocen, una única vez. Se sabe que a la fiesta asistieron 𝑡 estudiantes de 𝑚 países diferentes. Si 𝐶 es el número total de saludos que hubo durante la fiesta, demostrar que 𝐶≤𝑚−12𝑚𝑡2.

En un plano se da un punto 𝑂 y una recta 𝑟 que no pasa por 𝑂. Se toma en 𝑟 un punto variable 𝐴 y se construye el triángulo 𝑂𝐴𝐴′, rectángulo en 𝐴 e isósceles, y tal que la rotación de 𝑂𝐴 hacia 𝑂𝐴′ se hace en sentido positivo. Hallar:

1. El lugar geométrico de los puntos 𝐴′.
2. El lugar geométrico del centro de gravedad 𝐺 del triángulo 𝑂𝐴𝐴′.

Se considera un triángulo 𝐴𝐵𝐶 de lados 𝑎 =𝐵𝐶, 𝑏 =𝐴𝐶 y 𝑐 =𝐴𝐵. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que la mediana desde 𝐵 sea dividida en tres partes iguales por la circunferencia inscrita en el triángulo es que 𝑎5=𝑏10=𝑐13.

Sea 𝑛 un número entero positivo. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes del binomio (𝑎 +𝑏)𝑛 sean impares es que 𝑛 sea de la forma 2𝑘 −1.

Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura. Para comenzar el juego aparece una bola en el punto 𝑆. A cada impulso que recibe el jugador, la bola se mueve hasta una de las letras contiguas con la misma probabilidad para cada una de ellas. La partida termina en cuanto ocurre uno de los dos hechos siguientes:

• La bola vuelve a 𝑆 y entonces el jugador pierde.
• La bola llega a 𝐺 y entonces el jugador gana.

Encontrar las soluciones reales del sistema de ecuaciones: {3(𝑥2+𝑦2+𝑧2)=1,𝑥2𝑦2+𝑦2𝑧2+𝑧2𝑥2=𝑥𝑦𝑧(𝑥+𝑦+𝑧)3.

Se realiza un juego entre dos jugadores 𝐴 y 𝐵. En cada partida, la probabilidad de que gane el juego el jugador 𝐴 es 𝑝, la probabilidad de que gane el jugador 𝐵 es 𝑞, y la probabilidad de que queden en tablas (empate) es 𝑟. Gana el juego el jugador que gana dos partidas. Calcule la probabilidad de que gane el juego el jugador 𝐴.