Matemáticas de oposiciones

Calcule la integral: ∫𝑥3−𝑥2+2𝑥𝑥4+𝑥2+1𝑑𝑥.

Halla la ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,1) y forma con los semiejes coordenados positivos un tetraedro de volumen mínimo.

Halle todos los polinomios 𝑃(𝑥) con coeficientes reales tal que 𝑃(𝑥+2)−2𝑃(𝑥+1)+𝑃(𝑥)=𝑥 sabiendo que 𝑃(0) =16 y que 𝑃(3) =23.

Se realiza un juego entre dos jugadores 𝐴 y 𝐵 que ganará aquel que gane dos partidas. La probabilidad de que el jugador 𝐴 gane una partida es 𝑝, la probabilidad de que el jugador 𝐵 gane una partida es 𝑞, y la probabilidad de que una partida termine en tablas (empate) es 𝑟, siendo 𝑝,𝑞,𝑟 >0. Calcule la probabilidad de que el jugador 𝐴 gane el juego.

El número de años que dura un equipo de música es una variable aleatoria 𝑋 con una función de densidad de probabilidad dada por: 𝑓(𝑥)={0,si 𝑥≤0,𝑎𝑒−𝑏𝑥,si 𝑥>0,(𝑎,𝑏∈ℝ). Si la duración media de un equipo de música es de 15 años, se pide:

1. Calcule 𝑎 y 𝑏.
2. Si el equipo ha funcionado bien los tres primeros años, ¿cuál es la probabilidad de que dure un año más?
3. Calcule la desviación típica y la función de distribución de la variable 𝑋.