Matemáticas de oposiciones

Se consideran los siguientes subespacios vectoriales de ℝ4: 𝑆1=L{(1,1,−2,1), (0,1,−1,2), (2,−1,−1,−4)},𝑆2={(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)∈ℝ4:3𝑥+𝑎𝑧=0, 𝑥−2𝑦−2𝑡=0}. Halle 𝑎 para que 𝑆1 +𝑆2 sea distinto de ℝ4. En este caso, obtenga la dimensión y una base de 𝑆1 ∩𝑆2.

Dada la ecuación 𝑥4 +4𝑥3 −2𝑥2 −12𝑥 +𝑘 =0 con 𝑘 ∈ℝ se pide:

1. Discuta sus soluciones en función de los valores del parámetro 𝑘 ∈ℝ.
2. Resuelva la ecuación si 𝑘 = −27.

Demuestre que la astroide de ecuación 𝑥2/3 +𝑦2/3 =𝐿2/3 es la envolvente de la familia de segmentos móviles de longitud constante 𝐿 cuyos extremos se apoyan en los ejes de coordenadas.

El número de piezas por minuto que llegan a una máquina en una industria automovilística es una variable aleatoria 𝑋 que sigue una distribución de Poisson de parámetro 𝜆. Y el tiempo, en minutos, que transcurre entre las llegadas de un par de piezas, es una variable aleatoria 𝑇 cuya función de densidad es: 𝑓(𝑥)={𝜆2𝑡𝑒−𝜆𝑡,si 𝑡≥0,0,si 𝑡<0. Suponiendo 𝜆 =3 en ambas variables aleatorias se pide:

1. Si en un período de 120 segundos ya han llegado tres piezas, ¿cuál es la probabilidad de que en ese período lleguen, como mucho, dos piezas más?
2. Obtener la función de distribución acumulada de 𝑇 y utilizarla para calcular la probabilidad de que transcurran menos de 90 segundos entre las llegadas de un par de piezas.

Sea ℝ2[𝑡] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales.

1. Encuentre los valores de 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ℝ de modo que 𝑃(𝑡)=𝑡3+𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐𝑡−1+𝑡3+𝑏𝑡2+𝑐𝑡+𝑎𝑡+1+𝑡3+𝑐𝑡2+𝑎𝑡+𝑏𝑡−2 pertenezca a ℝ2[𝑡].
2. Demuestre que B ={𝑡2 +𝑡 +1,𝑡2 −1,𝑃(𝑡)} es una base de ℝ2[𝑡] y calcule las coordenadas respecto de dicha base del polinomio 𝑄(𝑡) =2𝑡2 +3𝑡.

Se denomina cicloide a la curva descrita por un punto de una circunferencia, cuando ésta rueda sin resbalar sobre una línea recta. Sean 𝑟 el radio de la circunferencia y el eje 𝑂𝑋 la recta sobre la que ésta rueda. Si 𝑃 es dicho punto y 𝜃 es el ángulo generado por 𝑃 cuando gira, las ecuaciones paramétricas de la cicloide son las siguientes: {𝑥=𝑟(𝜃−sen⁡(𝜃)),𝑦=𝑟(1−cos⁡(𝜃)). Hallar los valores de los números reales 𝑘 tales que la recta {𝑦 =𝑘} corta a un arco completo de cicloide en dos puntos de modo que los tres arcos resultantes miden lo mismo.

Sea 𝑃 un punto de la parábola de ecuación 𝑦2 =2𝑥. Las rectas tangente y normal a la parábola que pasan por 𝑃 cortan al eje 𝑂𝑌 en los puntos 𝐴 y 𝐵, respectivamente. Hallar una ecuación del lugar geométrico de los baricentros de los triángulos △𝑃𝐴𝐵 cuando 𝑃 recorre la parábola.

Una empresa especializada en la iluminación fabrica dos tipos, 𝐴 y 𝐵, de diodos LED. La vida útil (en miles de horas) de un diodo del tipo 𝐴 sigue una distribución normal, siendo su media 𝜇𝐴 =45 y su desviación típica 𝜎𝐴 =5. En cambio, un diodo de tipo 𝐵 también sigue una distribución normal, pero su media es 𝜇𝐵 =42 y su desviación típica 𝜎𝐵 =7. Suponiendo que las vidas útiles de los diodos LED del tipo 𝐴 y 𝐵 son independientes entre sí:

1. Calcule la probabilidad de que la diferencia entre las vidas útiles de los diodos tipo 𝐴 y 𝐵 sea menor que 1.000 horas.
2. Para fabricar una bombilla se utilizaron 35 diodos del tipo 𝐴. ¿Cuál es la probabilidad de que, pasadas 40.000 horas, exactamente 30 de ellos sigan funcionando?
3. En una muestra aleatoria de 20 diodos del tipo 𝐵, ¿cuál es la probabilidad de que la media de las horas de vida útil esté entre 40.000 y 43.000?