Exámenes

📋 Examen de 2014 de Ceuta

Problema 1

Geometría

Dado un triángulo $𝐴 𝐵 𝐶$ cuyos lados miden $𝑎 = 𝐵 𝐶$ , $𝑏 = 𝐶 𝐴$ y $𝑐 = 𝐴 𝐵$ , demuestre que $𝑎 2 - 𝑏 2 = 𝑏 𝑐$ si y solo si $∠ 𝐶 𝐴 𝐵 = 2 \cdot ∠ 𝐴 𝐵 𝐶$ .

Problema 2

Análisis

Calcule $\int \infty 0 𝑒 - 𝑥 2 𝑑 𝑥 .$

Resolución

La función de densidad de la distribución normal estándar $𝑍 \sim 𝑁 (0, 1)$ es: $𝑓 (𝑥) = 1 \sqrt 2 𝜋 𝑒 - 𝑥 2 2 .$ Por ser una función de densidad, se verifica que: $\int ℝ 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 1 \Leftrightarrow \int ℝ 1 \sqrt 2 𝜋 𝑒 - 𝑥 2 2 𝑑 𝑥 = 1 .$ Como la función de densidad de la distribución normal estándar es simétrica par, se tiene que: $\int ℝ 1 \sqrt 2 𝜋 𝑒 - 𝑥 2 2 𝑑 𝑥 = 2 \int + \infty 0 1 \sqrt 2 𝜋 𝑒 - 𝑥 2 2 𝑑 𝑥 = \sqrt 2 𝜋 \int + \infty 0 𝑒 - 𝑥 2 2 𝑑 𝑥 .$

Realizamos el siguiente cambio de variable: $𝑡 2 = 𝑥 2 2 \Leftrightarrow 𝑥 2 = 2 𝑡 2 \Rightarrow 𝑥 = \sqrt 2 𝑡, 𝑑 𝑥 = \sqrt 2 𝑑 𝑡 .$ De esta forma, $\sqrt 2 𝜋 \int + \infty 0 𝑒 - 𝑥 2 2 𝑑 𝑥 = \sqrt 2 𝜋 \int + \infty 0 𝑒 - 𝑡 2 \cdot \sqrt 2 𝑑 𝑡 = 2 \sqrt 𝜋 \int + \infty 0 𝑒 - 𝑡 2 𝑑 𝑡 .$

Por tanto, $\int ℝ 𝑓 (𝑥) = 1 \Leftrightarrow 2 \sqrt 𝜋 \int + \infty 0 𝑒 - 𝑡 2 𝑑 𝑡 = 1 \Leftrightarrow \int + \infty 0 𝑒 - 𝑡 2 𝑑 𝑡 = \sqrt 𝜋 2 .$

Problema 3

Estadística

Sean $𝑋$ e $𝑌$ dos variables estadísticas incorreladas. Estudie la correlación lineal entre las variables estadísticas $𝑋 + 𝑌$ y $𝑋 - 𝑌$ .

Problema 4

Álgebra

Sea $𝑓$ un endomorfismo de un espacio vectorial $𝑉$ finitamente generado sobre un cuerpo $𝐾$ . Para cada autovalor $𝜆 \in 𝐾$ de $𝑓$ y cada $𝑝 \in ℕ$ se considera el subespacio $𝐸 𝑝 (𝜆) = K e r (𝑓 - 𝜆 𝑖) 𝑝$ , donde $𝑖$ es el endomorfismo idéntico de $𝑉$ y $(𝑓 - 𝜆 𝑖) 𝑝$ es la composición del endomorfismo $𝑓 - 𝜆 𝑖$ consigo mismo $𝑝$ veces. Demuestre que si $𝜆$ es autovalor de $𝑓$ , entonces:

$𝑓 (𝐸 𝑝 (𝜆)) \subset 𝐸 𝑝 (𝜆)$ , para cada $𝑝 \in ℕ$ .
$(𝑓 - 𝜆 𝑖) (𝐸 𝑝 (𝜆)) \subset 𝐸 𝑝 - 1 (𝜆)$ , para cada $𝑝 \in ℕ$ , $𝑝 \geq 2$ .
La sucesión $𝐸 𝑝 (𝜆)$ es creciente respecto de la inclusión $\subset$ de conjuntos.
La sucesión $𝐸 𝑝 (𝜆)$ es constante a partir de cierto término.

Problema 5

Probabilidad

Consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas $𝐴 1$ , $𝐴 2$ y $𝐴 3$ . En marzo de 1995 se hizo una encuesta en la que se entrevistó a las 8.450 personas que compran café y los resultados se recogen en la tabla siguiente:

Compra actual	Marca $𝐴 1$	Marca $𝐴 2$	Marca $𝐴 3$	Totales
	Compra en el siguiente mes
Marca $𝐴 1$	507	845	338	1.690
Marca $𝐴 2$	676	2.028	676	3.380
Marca $𝐴 3$	845	845	1.690	3.380
Totales	2.028	3.718	2.704	8.450

Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en Pontevedra en el mes de junio?
A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes del café?
En junio, ¿cuál es la proporción de clientes leales a sus marcas de café?

Problema 6

Análisis

La ecuación $𝑥 - 𝑒 - 𝑥 = 0$ tiene una solución en el intervalo $[0, 5, 0, 6]$ . Para aproximar dicha solución se consideran los métodos de Lagrange, de Newton y de las aproximaciones sucesivas basado en la función $𝑔$ definida por $𝑔 (𝑥) = - l n (𝑥)$ . Justifique la existencia de dicha solución y analice la conveniencia de utilizar un método u otro para aproximarla.