Matemáticas de oposiciones

Dado un triángulo 𝐴𝐵𝐶 cuyos lados miden 𝑎 =𝐵𝐶, 𝑏 =𝐶𝐴 y 𝑐 =𝐴𝐵, demuestre que 𝑎2 −𝑏2 =𝑏𝑐 si y solo si ∠𝐶𝐴𝐵 =2 ⋅∠𝐴𝐵𝐶.

Calcule ∫∞0𝑒−𝑥2𝑑𝑥.

Sean 𝑋 e 𝑌 dos variables estadísticas incorreladas. Estudie la correlación lineal entre las variables estadísticas 𝑋 +𝑌 y 𝑋 −𝑌.

Sea 𝑓 un endomorfismo de un espacio vectorial 𝑉 finitamente generado sobre un cuerpo 𝐾. Para cada autovalor 𝜆 ∈𝐾 de 𝑓 y cada 𝑝 ∈ℕ se considera el subespacio 𝐸𝑝(𝜆) =Ker⁡(𝑓 −𝜆𝑖)𝑝, donde 𝑖 es el endomorfismo idéntico de 𝑉 y (𝑓 −𝜆𝑖)𝑝 es la composición del endomorfismo 𝑓 −𝜆𝑖 consigo mismo 𝑝 veces. Demuestre que si 𝜆 es autovalor de 𝑓, entonces:

1. 𝑓(𝐸𝑝(𝜆)) ⊂𝐸𝑝(𝜆), para cada 𝑝 ∈ℕ.
2. (𝑓 −𝜆𝑖)(𝐸𝑝(𝜆)) ⊂𝐸𝑝−1(𝜆), para cada 𝑝 ∈ℕ, 𝑝 ≥2.
3. La sucesión 𝐸𝑝(𝜆) es creciente respecto de la inclusión ⊂ de conjuntos.
4. La sucesión 𝐸𝑝(𝜆) es constante a partir de cierto término.

Consumidores de café en el área de Pontevedra usan tres marcas 𝐴1, 𝐴2 y 𝐴3. En marzo de 1995 se hizo una encuesta en la que se entrevistó a las 8.450 personas que compran café y los resultados se recogen en la tabla siguiente:

1. Si las compras se hacen mensualmente, ¿cuál será la distribución del mercado de café en Pontevedra en el mes de junio?
2. A la larga, ¿cómo se distribuirán los clientes del café?
3. En junio, ¿cuál es la proporción de clientes leales a sus marcas de café?

La ecuación 𝑥 −𝑒−𝑥 =0 tiene una solución en el intervalo [0,5, 0,6]. Para aproximar dicha solución se consideran los métodos de Lagrange, de Newton y de las aproximaciones sucesivas basado en la función 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = −ln⁡(𝑥). Justifique la existencia de dicha solución y analice la conveniencia de utilizar un método u otro para aproximarla.