Matemáticas de oposiciones

Sea, para cada 𝑛 ∈ℤ, 𝑝 ∈ℝ, 𝑛,𝑝 ≥0, 𝐾𝑛(𝑝)=∫10𝑥𝑛√(1−𝑥)(1+𝑝𝑥)𝑑𝑥.

1. Calcule 𝐾0(𝑝) y 𝐾1(𝑝), para cualquier 𝑝 ≥0.
2. Encuentre una relación de recurrencia, para 𝑛 ≥2 y 𝑝 ≥0, del tipo 𝐹(𝐾𝑛(𝑝),𝐾𝑛−1(𝑝),𝐾𝑛−2(𝑝))=0 y utilícela para calcular 𝐾𝑛(0) y 𝐾𝑛(1), para todo 𝑛 ∈ℕ.

Dada la ecuación 𝑥4 −8𝑥3 +22𝑥2 −24𝑥 +𝑚 =0, con 𝑚 ∈ℝ, se pide:

1. Discuta las soluciones de la ecuación al variar el parámetro 𝑚.
2. Resuelva la ecuación en función de 𝑚.

Se considera un triángulo 𝐴𝐵𝐶 y sea 𝐺 su baricentro. Se traza una recta que pasa por 𝐺 y que corta al segmento 𝐴𝐵 en un punto 𝑃 y al segmento 𝐴𝐶 en un punto 𝑄. Demuestre que: 𝑃𝐵𝑃𝐴⋅𝑄𝐶𝑄𝐴≤14.

Un punto móvil 𝑃 describe una parábola 𝑦2 =2𝑥, con velocidad de 5 cm/s, pasando primero por el origen 𝑂 y luego por el punto 𝑀(2,2). En el punto 𝐴(6,0) hay un foco luminoso y se pregunta: ¿A qué velocidad se moverá sobre el eje 𝑂𝑌 la sombra del punto 𝑃 cuando éste pase por 𝑀?

Se tienen 𝑛 bolas numeradas 1,2,…,𝑛 y se ordenan aleatoriamente en fila una detrás de otra.

1. Calcule la probabilidad 𝑝𝑛 de que ninguna bola esté en la posición que indica su número.
2. Calcule lím𝑛→∞⁡𝑝𝑛.

Calcule todos los (𝑥,𝑦,𝑧,𝑢) ∈ℝ4 tales que la suma de cualquiera de sus componentes con el producto de las otras tres dé como resultado 2.