Exámenes

📋 Examen de 2014 de Aragón

Problema 1

Análisis

Determine una función continua $𝑓 : [0, 2] \to ℝ$ tal que $𝑓 (1) = 1$ , $𝑓 (2) = 7$ y tal que para cada $𝑥 \in [0, 2]$ sea $3 \int 𝑥 0 𝑓 (𝑡) 𝑑 𝑡 = [𝑓 (𝑥) + 2 𝑓 (0)] 𝑥 .$

Problema 2

Álgebra

Calcule el valor del siguiente determinante de orden $𝑛 \in ℕ$ : $𝐴 𝑛 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1! 100 \dots 0 1 2! 1 1! 10 \dots 0 1 3! 1 2! 1 1! 1 \dots 0 1 4! 1 3! 1 2! 1 1! \dots 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑛! 1 (𝑛 - 1)! 1 (𝑛 - 2)! 1 (𝑛 - 3)! \dots 1 1! ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .$

Problema 3

Probabilidad

Si de una urna que solo contiene bolas blancas y bolas negras, idénticas salvo en el color, extraemos dos bolas al azar sin reemplazamiento, la probabilidad de que ambas sean blancas es $12$ .

Determine el número mínimo de bolas que contiene la urna.
Determine el número mínimo de bolas que contiene la urna, sabiendo que el número de bolas negras es par.

Resolución

Sean los sucesos: $𝐵 𝑖 = 𝑜 𝑏 𝑡 𝑒 𝑛 𝑒 𝑟 𝑢 𝑛 𝑎 𝑏 𝑜 𝑙 𝑎 𝑏 𝑙 𝑎 𝑛 𝑐 𝑎 𝑒 𝑛 𝑙 𝑎 𝑒 𝑥 𝑡 𝑟 𝑎 𝑐 𝑐 𝑖 ó 𝑛 𝑖, 𝑖 = 1, 2, 𝑁 𝑗 = 𝑜 𝑏 𝑡 𝑒 𝑛 𝑒 𝑟 𝑢 𝑛 𝑎 𝑏 𝑜 𝑙 𝑎 𝑛 𝑒 𝑔 𝑟 𝑎 𝑒 𝑛 𝑙 𝑎 𝑒 𝑥 𝑡 𝑟 𝑎 𝑐 𝑐 𝑖 ó 𝑛 𝑗, 𝑗 = 1, 2 .$ Sean $𝑏, 𝑛 \in ℕ$ el número de bolas negras y blancas en la urna, respectivamente. Sea $𝑚 \in ℕ$ el número de bolas totales en la urna, con $𝑚 = 𝑏 + 𝑛$ . Como la probabilidad de sacar dos bolas blancas es $12$ , necesariamente $𝑏 \geq 2$ , $𝑛 \geq 1$ y $𝑚 \geq 3 .$

Se tiene que: $P(B_1 \cap B_2) = \frac{b}{m} \cdot \frac{b-1}{m-1} = \frac{b^2 - b}{m^2 - m}.$ Ha de verificarse que: $\begin{align} P(B_1 \cap B_2) = \frac{1}{2} & \Leftrightarrow \frac{b^2 - b}{m^2 - m} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2b^2 - 2b = m^2 - m \Leftrightarrow m^2 - m - 2b^2 + 2b = 0 \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8b^2 - 8b}}{2}. \end{align}$ Como $m \geq 3$ , solo puede ser válida la solución con la suma.
- Si $𝑏 = 2$ , entonces: $𝑚 = 1 + \sqrt 17 2 \notin ℕ .$
- Si $𝑏 = 3$ , entonces: $𝑚 = 1 + \sqrt 49 2 = 4 .$
Por tanto, el número mínimo de bolas que contiene la urna es 4, con 3 bolas blancas y 1 bola negra.
De forma análoga, se tiene que: $P(B_1 \cap B_2) = \frac{m - n}{m} \cdot \frac{m - n - 1}{m-1} = \frac{m^2 - mn - m - mn + n^2 + n}{m^2 - m} = \frac{m^2 - 2mn - m + n^2 + n}{m^2 - m}.$ Ha de verificarse que: $\begin{align} P(B_1 \cap B_2) = \frac{1}{2} & \Leftrightarrow \frac{m^2 - 2mn - m + n^2 + n}{m^2 - m} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2m^2 - 4mn - 2m + 2n^2 + 2n = m^2 - m \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow m^2 + (-4n - 1)m + 2n^2 + 2n = 0 \Leftrightarrow \\ & \Leftrightarrow m = \frac{4n + 1 \pm \sqrt{(4n + 1)^2 - 8n^2 - 8n}}{2} = \frac{4n + 1 \pm \sqrt{8n^2 + 1}}{2}. \end{align}$ Como $4n \leq \sqrt{8n^2 + 1}$ y $m \geq 3$ , solo puede ser válida la solución con la suma.
- Si $𝑛 = 2$ , $𝑚 = 9 + \sqrt 33 2 \notin ℕ .$
- Si $𝑛 = 4$ , $𝑚 = 17 + \sqrt 129 2 \notin ℕ .$
- Si $𝑛 = 6$ , $𝑚 = 25 + \sqrt 289 2 = 21 .$
Por tanto, el número mínimo de bolas que contiene la urna es 21, con 15 bolas blancas y 6 bolas negras.

Problema 4

Geometría

Dadas dos semicircunferencias $𝑆 1$ y $𝑆 2$ , iguales y tangentes entre sí, cuyos diámetros están sobre una misma recta $𝑠$ , se considera la recta $𝑡$ que es paralela a $𝑠$ y tangente a $𝑆 1$ y $𝑆 2$ . Sea $𝐶 1$ la circunferencia que es tangente a $𝑆 1$ , a $𝑆 2$ y a $𝑡$ ; y entiéndase por $𝐶 𝑛$ la circunferencia que es tangente a $𝑆 1$ , a $𝑆 2$ y a $𝐶 𝑛 - 1$ , para $𝑛 \geq 2$ . Use esta construcción geométrica para probar que $1 1 \cdot 2 + 1 2 \cdot 3 + 1 3 \cdot 4 + \dots + 1 𝑛 (𝑛 + 1) + \dots = 1 .$

Problema 5

Se tienen $𝑛$ recipientes cilíndricos iguales $𝐶 1, 𝐶 2, \dots, 𝐶 𝑛$ . El primero de ellos está lleno de alcohol puro al 100% y cada uno de los siguientes está lleno hasta la mitad de un líquido cuya concentración de alcohol es $𝑘$ veces menor que la correspondiente del recipiente anterior $(𝑘 > 0)$ . Se vierte líquido del primer recipiente hasta llenar el segundo, después se vierte líquido del segundo recipiente hasta llenar el tercero y así sucesivamente hasta llenar el último. Calcule la concentración de alcohol del último recipiente.

Problema 6

Geometría

Un cuadrilátero $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ admite circunferencia inscrita y a su vez está inscrito en una circunferencia $𝐶$ , de la que $𝐴 𝐵$ es un diámetro.

Demuestre que $𝐶 𝐷 \leq (\sqrt 5 - 2) 𝐴 𝐵$ .
Caracterice los cuadriláteros $𝐴 𝐵 𝐶 𝐷$ que cumplen el enunciado y en los que la anterior desigualdad es una igualdad.

Problema 7

Geometría

Dado un número real $𝑎 > 0$ , se considera la curva $𝐶$ cuya ecuación es $\sqrt 𝑥 + \sqrt 𝑦 = \sqrt 𝑎$ en cierta referencia rectangular del plano. Por un punto $𝑃$ de dicha curva se traza la tangente a $𝐶$ que corta a los ejes coordenados $𝑂 𝑋$ y $𝑂 𝑌$ en los puntos respectivos $𝑀$ y $𝑁$ . Demuestre que $𝑎$ es la suma de la abscisa de $𝑀$ y la ordenada de $𝑁$ .

Problema 8

Probabilidad

Se eligen al azar y de manera independiente dos puntos sobre un segmento de longitud unidad que dividen a éste en tres segmentos. Calcule:

La probabilidad de que ninguno de los tres segmentos mida menos que $14$ .
La probabilidad de que se pueda formar un triángulo rectángulo con dichos tres segmentos.

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