Exámenes

📋 Examen de 2006 de Andalucía

Problema 1

Análisis

Dada la función $𝑓 (𝑥) = l n (𝑥) .$

Hallar la longitud de arco bajo la curva entre $𝑥 = 12$ y $𝑥 = 32 .$
Hallar el área bajo la curva delimitada por el eje $𝑂 𝑋$ y las ordenadas con abscisas $𝑥 = 12$ y $𝑥 = 32 .$

Resolución

La longitud de arco viene dada por: $L = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 + f'(x)^2}dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}dx.$ Realizamos el cambio de variable: $\begin{align} t = \sqrt{1 + x^2} \Rightarrow x & = \sqrt{t^2 - 1}, \\ dx & = \frac{t}{\sqrt{t^2 - 1}}. \end{align}$ De esta forma, $L = \int_{\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{13}}{2}} \frac{t}{\sqrt{t^2 - 1}} \cdot \frac{t}{\sqrt{t^2 - 1}}dt = \int_{\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{13}}{2}} \frac{t^2}{t^2 - 1}dt.$ Hacemos la división de polinomios del integrando. $\frac{t^2}{t^2 - 1} = 1 + \frac{1}{t^2 - 1}.$ Así que: $L = \int_{\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{13}}{2}} \left(1 + \frac{1}{t^2 - 1}\right)dt.$ Expresamos el integrando como suma de fracciones simples. $\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1} = \frac{A(t+1) + B(t-1)}{t^2 - 1}.$
- Si $𝑡 = 1$ , entonces $1 = 2 𝐴 \Leftrightarrow 𝐴 = 12$ .
- Si $𝑡 = - 1$ , entonces $1 = - 2 𝐵 \Leftrightarrow 𝐵 = - 12$ .
Luego: $\frac{1}{t^2 - 1} = \frac{1}{2(t-1)} - \frac{1}{2(t+1)}.$ Por tanto: $\begin{align} L & = \int_{\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{13}}{2}} \left(1 + \frac{1}{2(t-1)} + \frac{1}{2(t+1)}\right)dt = \left[t + \frac{1}{2}\ln(t-1) - \frac{1}{2}\ln(t+1)\right]_{\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{13}}{2}} = \left[t + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{t-1}{t+1}\right)\right]_{\frac{\sqrt{5}}{2}}^{\frac{\sqrt{13}}{2}} = \\ & = \frac{\sqrt{13}}{2} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{13}-2}{\sqrt{13} + 2}\right) - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5} + 2}\right) \approx 1,5032 \; u. \end{align}$
En primer lugar, observamos que $𝑓$ tiene un punto de corte con el eje de abscisas en $𝑥 = 1$ . Además, se tiene que $𝑓 (𝑥) < 0$ para $0 < 𝑥 < 1$ y que $𝑓 (𝑥) > 0$ para $𝑥 > 1$ . Por tanto, $𝑆 = - \int 112 l n (𝑥) 𝑑 𝑥 + \int 321 l n (𝑥) 𝑑 𝑥 = - [𝑥 l n (𝑥) - 𝑥] 112 + [𝑥 l n (𝑥) - 𝑥] 321 = = 1 + 12 l n (12) - 12 + 32 l n (32) - 32 + 1 = 12 l n (2716) \approx 0, 2616 𝑢 2 .$

Problema 2

Análisis

Dados $0 < 𝑥 1 < 𝑦 1$ , se consideran las sucesiones ${𝑥 𝑛}$ , ${𝑦 𝑛}$ tales que $𝑥 𝑛 = \sqrt 𝑥 𝑛 - 1 \cdot 𝑦 𝑛 - 1, 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 - 1 + 𝑦 𝑛 - 1 2, \forall 𝑛 \geq 2 .$ Demostrar que ambas tienen límite y es el mismo.

Resolución

Veamos por inducción que se verifica que: $0 < 𝑥 1 < 𝑥 2 < \dots < 𝑥 𝑛 < 𝑦 𝑛 < \dots < 𝑦 2 < 𝑦 1, \forall 𝑛 \in ℕ .$

Para $𝑛 = 1$ , se tiene que $𝑥 1 < 𝑦 1$ por hipótesis.
Supongamos que se verifica para $n$ y veamos que se cumple para $n + 1$ . Las desigualdades a demostrar son: $0 < x_1 < \ldots < x_n < x_{n+1} < y_{n+1} < y_n < \ldots < y_1.$
- Veamos que $𝑥 𝑛 < 𝑥 𝑛 + 1$ . $𝑥 𝑛 = \sqrt 𝑥 𝑛 \cdot 𝑥 𝑛 < \sqrt 𝑥 𝑛 \cdot 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 1 .$
- Veamos que $𝑦 𝑛 + 1 < 𝑦 𝑛$ . $𝑦 𝑛 + 1 = 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 2 < 𝑦 𝑛 + 𝑦 𝑛 2 = 𝑦 𝑛 .$
- Veamos que $𝑥 𝑛 + 1 < 𝑦 𝑛 + 1 .$ $𝑦 2 𝑛 + 1 - 𝑥 2 𝑛 + 1 = (𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 2) 2 - 𝑥 𝑛 \cdot 𝑦 𝑛 = 𝑥 2 𝑛 + 𝑦 2 𝑛 - 2 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 4 = (𝑥 𝑛 - 𝑦 𝑛) 2 4 > 0 \Rightarrow 𝑥 𝑛 + 1 < 𝑦 𝑛 + 1 .$

Por tanto, se tiene que: $0 < 𝑥 1 < \dots < 𝑥 𝑛 < 𝑦 𝑛 < \dots < 𝑦 1, \forall 𝑛 \in ℕ .$

Observamos que ${𝑥 𝑛}$ es monótona creciente y está acotada superiormente por $𝑦 1$ , mientras que ${𝑦 𝑛}$ es monótona decreciente y está acotada inferiormente por $𝑥 1$ . Luego las sucesiones ${𝑥 𝑛}$ e ${𝑦 𝑛}$ son convergentes.

Sean $𝐿 = l í m 𝑥 𝑛$ y $𝐿' = l í m 𝑦 𝑛$ . Entonces: $𝐿' = 𝐿 + 𝐿' 2 \Leftrightarrow 2 𝐿' = 𝐿 + 𝐿' \Leftrightarrow 𝐿 = 𝐿' .$ Por tanto, $l í m 𝑥 𝑛 = l í m 𝑦 𝑛 .$

Problema 3

Geometría

Se considera un segmento $𝐴 𝐵$ de longitud constante que se mueve apoyando sus extremos en unos ejes cartesianos rectángulos. Hallar el lugar geométrico de la proyección del origen sobre el segmento.

Problema 4

Álgebra

Sea la matriz $𝑀 (𝑥) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑥 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠,$ con $𝑥 \in ℝ .$ Sea $𝐴$ el conjunto de matrices de esta forma. Demostrar que $𝐴$ con el producto de matrices tiene estructura de grupo conmutativo.

Resolución

Sea $𝐴 = {𝑀 (𝑥) : 𝑥 \in ℝ} \subset M 3 \times 3 (ℝ) .$ Veamos que $(𝐴, \cdot)$ es un grupo conmutativo.

Veamos que $𝐴$ es cerrado para el producto. Sean $𝑀 (𝑥), 𝑀 (𝑦) \in 𝐴$ , $𝑀 (𝑥) \cdot 𝑀 (𝑦) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑥 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑦 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 10 𝑥 + 𝑦 010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = 𝑀 (𝑥 + 𝑦) \in 𝐴 .$
La asociatividad del producto en $𝐴$ se hereda del producto de matrices.
Consideramos la matriz: $𝐼 = 𝑀 (0) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100010001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ \in 𝐴 .$ La matriz $𝐼$ es el elemento neutro en $𝐴$ , heredado del producto de matrices.
Todo elemento de $𝐴$ tiene un inverso. Dada $𝑀 (𝑥) \in 𝐴$ , la matriz $𝑀 (- 𝑥)$ verifica que: $𝑀 (𝑥) \cdot 𝑀 (- 𝑥) = 𝑀 (- 𝑥) \cdot 𝑀 (𝑥) = 𝑀 (0) = 𝐼 .$
Veamos que el producto en $𝐴$ es conmutativo. Sean $𝑀 (𝑥), 𝑀 (𝑦) \in 𝐴$ , $𝑀 (𝑥) \cdot 𝑀 (𝑦) = 𝑀 (𝑥 + 𝑦) = 𝑀 (𝑦 + 𝑥) = 𝑀 (𝑦) \cdot 𝑀 (𝑥) .$

Por tanto, $(𝐴, \cdot)$ es un grupo conmutativo.

Problema 5

Probabilidad

Se consideran los alumnos de Bachillerato de un instituto, que pertenecen a 3 barrios A, B y C. El 20% de los alumnos del instituto pertenecen al barrio A, el 30% al B y el resto al C. El 80% de los alumnos del barrio A estudian 1° de Bachillerato y el resto 2°, el 50% de los del barrio B estudian 1° y el resto 2°, y el 60% de los del C estudian 1° y el resto 2º.

Se escoge un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estudie 2º?
Si se ha escogido un alumno y se sabe que estudia 1°, ¿cuál es la probabilidad de que sea del barrio B?

Resolución

Sean los sucesos: $𝐴 = 𝑝 𝑒 𝑟 𝑡 𝑒 𝑛 𝑒 𝑐 𝑒 𝑟 𝑎 𝑙 𝑏 𝑎 𝑟 𝑟 𝑖 𝑜 𝐴, 𝐵 = 𝑝 𝑒 𝑟 𝑡 𝑒 𝑛 𝑒 𝑐 𝑒 𝑟 𝑎 𝑙 𝑏 𝑎 𝑟 𝑟 𝑖 𝑜 𝐵, 𝐶 = 𝑝 𝑒 𝑟 𝑡 𝑒 𝑛 𝑒 𝑐 𝑒 𝑟 𝑎 𝑙 𝑏 𝑎 𝑟 𝑟 𝑖 𝑜 𝐶, 𝐷 = 𝑒 𝑠 𝑡 𝑢 𝑑 𝑖 𝑎 𝑟 1 º 𝑑 𝑒 𝐵 𝑎 𝑐 ℎ 𝑖 𝑙 𝑙 𝑒 𝑟 𝑎 𝑡 𝑜, 𝐸 = 𝑒 𝑠 𝑡 𝑢 𝑑 𝑖 𝑎 𝑟 2 º 𝑑 𝑒 𝐵 𝑎 𝑐 ℎ 𝑖 𝑙 𝑙 𝑒 𝑟 𝑎 𝑡 𝑜 .$

Podemos organizar los datos en un diagrama de árbol.

			$𝐷$
		$0, 8 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
	$𝐴$
$0, 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$		$0, 2 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
			$𝐸$
			$𝐷$
		$0, 5 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
$0, 3 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$	$𝐵$
		$0, 5 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
			$𝐸$
			$𝐷$
$0, 5 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$		$0, 6 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
	$𝐶$
		$0, 4 \leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow\leftarrow \to$
			$𝐸$

Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que un alumno al azar estudie 2º de Bachillerato es: $𝑃 (𝐸) = 𝑃 (𝐸 \cap 𝐴) + 𝑃 (𝐸 \cap 𝐵) + 𝑃 (𝐸 \cap 𝐶) = 𝑃 (𝐴) \cdot 𝑃 (𝐸 | 𝐴) + 𝑃 (𝐵) \cdot 𝑃 (𝐸 | 𝐵) + 𝑃 (𝐶) \cdot 𝑃 (𝐸 | 𝐶) = = 0, 2 \cdot 0, 2 + 0, 3 \cdot 0, 5 + 0, 5 \cdot 0, 4 = 0, 39 .$
La probabilidad de que un alumno al azar sea del barrio B dado que estudia 1º de Bachillerato es: $𝑃 (𝐵 | 𝐷) = 𝑃 (𝐵 \cap 𝐷) 𝑃 (𝐷) = 𝑃 (𝐵) \cdot 𝑃 (𝐷 | 𝐵) 1 - 𝑃 (𝐸) = 0, 3 \cdot 0, 5 1 - 0, 39 \approx 0, 2459 .$

Problema 6

Álgebra

Dado el determinante: $𝐷 𝑛 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 𝑥 2 𝑥 00 \dots 000 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 0 \dots 000 0 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 \dots 000 00 𝑥 1 + 𝑥 2 \dots 000 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0000 \dots 1 + 𝑥 2 𝑥 0 0000 \dots 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 0000 \dots 0 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ .$ Calcular el polinomio en $𝑥$ ordenado en función de $𝑛$ que resulta de su desarrollo.

Resolución

En primer lugar, hallamos los determinantes de las primeras matrices. $| 𝐷 1 | = 1 + 𝑥 2, | 𝐷 2 | = ∣ 1 + 𝑥 2 𝑥 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ = (1 + 𝑥 2) 2 - 𝑥 2 = 1 + 2 𝑥 2 + 𝑥 4 - 𝑥 2 = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4, | 𝐷 3 | = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 𝑥 2 𝑥 0 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 0 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ ∣ ∣ ∣ = (1 + 𝑥 2) 3 - 2 𝑥 2 (1 + 𝑥 2) = 1 + 3 𝑥 2 + 3 𝑥 4 + 𝑥 6 - 2 𝑥 2 - 2 𝑥 4 = = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 .$ Veamos que $𝐷 𝑛 = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛$ para todo $𝑛 \in ℕ$ por inducción.

Si $𝑛 = 1$ , se verifica que $𝐷 1 = 1 + 𝑥 2$ .
Supongamos que la igualdad se verifica hasta $𝑛$ y veamos que es cierta para $𝑛 + 1$ . $𝐷 𝑛 + 1 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 𝑥 2 𝑥 00 \dots 00 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 0 \dots 00 0 𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 \dots 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0000 \dots 1 + 𝑥 2 𝑥 0000 \dots 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f i l a 1 = = (1 + 𝑥 2) 𝐷 𝑛 - 𝑥 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 𝑥 𝑥 0 \dots 00 0 1 + 𝑥 2 𝑥 \dots 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 000 \dots 1 + 𝑥 2 𝑥 000 \dots 𝑥 1 + 𝑥 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ c o l u m n a 1 = (1 + 𝑥 2) 𝐷 𝑛 - 𝑥 2 𝐷 𝑛 - 1 = = (1 + 𝑥 2) (1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛) - 𝑥 2 (1 + 𝑥 2 + \dots + 𝑥 2 𝑛 - 2) = = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + 𝑥 6 + \dots + 𝑥 2 𝑛 + 𝑥 2 𝑛 + 2 - 𝑥 2 - 𝑥 4 - 𝑥 6 - \dots - 𝑥 2 𝑛 = = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛 + 𝑥 2 (𝑛 + 1) .$

Por tanto, $𝐷 𝑛 = 1 + 𝑥 2 + 𝑥 4 + \dots + 𝑥 2 𝑛, 𝑛 \in ℕ .$

Problema 7

Álgebra

Sean $𝑘, 𝑝, 𝑛 \in ℕ$ , con $0 \leq 𝑘 \leq 𝑝 \leq 𝑛 .$

Demostrar: $(𝑛 𝑘) (𝑛 - 𝑘 𝑝 - 𝑘) = (𝑝 𝑘) (𝑛 𝑝) .$
Demostrar: $(𝑛 0) (𝑛 𝑝) + (𝑛 1) (𝑛 - 1 𝑝 - 1) + (𝑛 2) (𝑛 - 2 𝑝 - 2) + \dots + (𝑛 𝑝) (𝑛 - 𝑝 0) = 2 𝑝 (𝑛 𝑝) .$

Resolución

Desarrollamos la primera expresión. $(𝑛 𝑘) (𝑛 - 𝑘 𝑝 - 𝑘) = 𝑛! 𝑘! (𝑛 - 𝑘)! \cdot (𝑛 - 𝑘)! (𝑝 - 𝑘)! (𝑛 - 𝑝)! = 𝑛! 𝑘! (𝑝 - 𝑘)! (𝑛 - 𝑝)! = 𝑛! \cdot 𝑝! 𝑘! (𝑝 - 𝑘)! (𝑛 - 𝑝)! \cdot 𝑝! = = 𝑝! 𝑘! (𝑝 - 𝑘)! \cdot 𝑛! 𝑝! (𝑛 - 𝑝)! = (𝑝 𝑘) (𝑛 𝑝) .$
Reescribimos la primera expresión utilizando la igualdad del apartado anterior. $(𝑛 0) (𝑛 𝑝) + (𝑛 1) (𝑛 - 1 𝑝 - 1) + \dots + (𝑛 𝑝) (𝑛 - 𝑝 0) = 𝑝 \sum 𝑘 = 0 (𝑛 𝑘) (𝑛 - 𝑘 𝑝 - 𝑘) (a) = 𝑝 \sum 𝑘 = 0 (𝑝 𝑘) (𝑛 𝑝) = (𝑛 𝑝) 𝑝 \sum 𝑘 = 0 (𝑝 𝑘) = = (𝑛 𝑝) (1 + 1) 𝑝 = 2 𝑝 (𝑛 𝑝) .$

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