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📋 Examen de 2000 de Andalucía

Problema 1

Construir un triángulo conociendo los lados 𝑏 y 𝑐 y la bisectriz 𝑑 del ángulo que forman. Discusión del problema a resolver.

Problema 2

Una parábola tiene el foco en el punto 𝐹(2,2) y es tangente a 𝑂𝑋 en el punto 𝑃(4,0) y a 𝑂𝑌 en el punto 𝑄(0,4). Calcular el volumen engendrado por el segmento parabólico determinado por dicha parábola y la cuerda 𝑃𝑄 al girar alrededor del eje 𝑂𝑋.

Problema 3

Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de la elipse 𝑏2𝑥2 +𝑎2𝑦2 =𝑎2𝑏2, que son vistas desde el centro bajo un ángulo de 90°.

Problema 4

Resolver las siguientes cuestiones de divisibilidad:

  1. En una batalla en la que participan entre 10.000 y 11.000 soldados, resultaron muertos 23165 y heridos 35143 del total. Hallar cuántos soldados resultaron ilesos.
  2. Hallar el número 𝑁 =2𝑎5𝑏 sabiendo que la suma de todos sus divisores es 961.

Resolución
  1. Sea 𝑛 ∈ℕ el número de soldados, con 10.000 ≤𝑛 ≤11.000.
    • 23165𝑛 soldados resultaron muertos, así que 23165𝑛 ∈ℕ. Luego 𝑛 es múltiplo de 165.
    • 35143𝑛 soldados resultaron heridos, así que 35143𝑛 ∈ℕ. Luego 𝑛 es múltiplo de 143.
    Hallamos el mínimo común múltiplo de 165 y 143. {165=3⋅5⋅11,143=11⋅13⇒mcm⁡(165,143)=3⋅5⋅11⋅13=2.145. Así que 𝑛 es múltiplo de 2.145. Sus primeros múltiplos son: 2.145,4.290,6.435,8.580,10.725,12.870. Como 10.000 ≤𝑛 ≤11.000, necesariamente 𝑛 =10.725. Calculamos el número de soldados muertos y heridos.
    • Resultaron muertos 23165 ⋅10.725 =1.495 soldados.
    • Resultaron heridos 35143 ⋅10.725 =2.625 soldados.
    Por tanto, resultaron ilesos: 10.725−1.495−2.625=6.605.
  2. Sea 𝑁 =2𝑎 ⋅5𝑏. Los divisores de 𝑁 son de la forma 2𝑟 ⋅5𝑠, con 0 ≤𝑟 ≤𝑎 y 0 ≤𝑠 ≤𝑏. La suma de todos los divisores viene dada por: ∑0≤𝑟≤𝑎0≤𝑠≤𝑏2𝑟⋅5𝑠=𝑏∑𝑠=0𝑎∑𝑟=02𝑟⋅5𝑠=(𝑎∑𝑟=02𝑟)⋅(𝑏∑𝑠=05𝑠)=(2𝑎+1−1)⋅5𝑏+1−14=14(2𝑎+1−1)(5𝑏+1−1). La suma los divisores es 961, así que: ∑0≤𝑟≤𝑎0≤𝑠≤𝑏2𝑟⋅5𝑠=961⇔14(2𝑎+1−1)(5𝑏+1−1)=961⇔(2𝑎+1−1)(5𝑏+1−1)=3.844=22⋅312=31⋅124⇔⇔{2𝑎+1−1=31⇔2𝑎+1=32⇔𝑎+1=5⇔𝑎=4,5𝑏+1−1=124⇔5𝑏+1=125⇔𝑏+1=3⇔𝑏=2. Por tanto, 𝑁 =24 ⋅52 =400.

Problema 5

Hallar la longitud de la sombra que sobre el plano horizontal arroja un poste de 4 m de altura a las tres de la tarde del día de equinoccio de primavera en un punto 𝐴 de la tierra de 30° de latitud norte.

Problema 6

En una circunferencia se escogen al azar tres puntos. Calcula la probabilidad de que los tres puntos estén situados en un mismo arco de 90°.