Matemáticas de oposiciones

Dada la curva H, que admite la parametrización 𝛼(𝑡)=(𝑒𝑡cos⁡(𝑡),𝑒𝑡sen⁡(𝑡),√3𝑒𝑡),𝑡∈ℝ, determine las ecuaciones de la recta tangente, del plano normal y del plano osculador a la curva H en el punto 𝑃 =𝛼(0).

Dadas las funciones 𝑓 :ℝ3 →ℝ2 y 𝑔 :ℝ2 →ℝ2 definidas por: 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=(sen⁡(𝑥𝑦+𝑧),(1+𝑥2)𝑦𝑧),𝑔(𝑢,𝑣)=(𝑢+𝑒𝑣,𝑣+𝑒𝑢).

1. Demuestre que 𝑓 es diferenciable en el punto (1, −1,1) y calcule la diferencial de 𝑓 en dicho punto.
2. Demuestre que 𝑔 es diferenciable en el punto (0,12) y calcule la diferencial de 𝑔 en tal punto.
3. Calcule la diferencial de la función compuesta 𝑔 ∘𝑓 en el punto (1, −1,1).

En el espacio vectorial C∞(ℝ) de las funciones 𝑓 :ℝ →ℝ que son infinitamente derivables, se considera el endomorfismo 𝑃 de C∞(ℝ) definido por: 𝑃(𝑓)(𝑥)=𝑥⋅𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥),𝑓∈C∞(ℝ),𝑥∈ℝ.

1. Calcule el núcleo de 𝑃.
2. Calcule una función 𝑔 del núcleo de 𝑃 tal que 𝑔(0) =1.
3. Demuestre que toda función 𝑓 ∈C∞(ℝ) cumple que 𝑃𝑛(𝑔 ⋅𝑓) =𝑔 ⋅𝑓(𝑛), para todo 𝑛 ∈ℕ, donde 𝑃𝑛 es la composición de 𝑃 consigo mismo 𝑛 veces y 𝑔 ⋅𝑓 el producto usual de 𝑔 y 𝑓.

Halle todos los polinomios 𝑃(𝑥) ∈ℝ[𝑥] tales que 𝑃(𝑥) −1 sea divisible por (𝑥 +1)4 y 𝑃(𝑥) +1 sea divisible por (𝑥 −1)4.

Dada la función de densidad 𝑓 :ℝ2 →ℝ, que vale 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑘(𝑥2+𝑦3)⋅𝑒−(𝑥+𝑦),si 𝑥≥0,𝑦≥0 y que es nula en el resto, se pide:

1. El valor de 𝑘.
2. Las funciones de densidad marginales.
3. La función de densidad condicional 𝑓(𝑦 ∣𝑥).
4. Estudie si las variables 𝑋 e 𝑌 son independientes.

Se considera el conjunto {1,2,3,…,𝑛}, siendo 𝑛 ∈ℕ.

1. ¿En cuántas de sus permutaciones no coincidirá ninguna cifra en el lugar que le corresponde por orden natural?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que, tomando una permutación al azar, aparezca al menos un número en su lugar?
3. Determine el número de inversiones que presenta la permutación de 3𝑛 elementos: 𝜎=(147…3𝑛−2258…3𝑛−1369…3𝑛).
4. Halle un criterio general para los números naturales 𝑛 tales que la permutación anterior sea de clase par.

Sea 𝛼 ∈ℂ una solución de la ecuación 𝐸:𝑥2−𝑏𝑥+𝑐=0, donde 𝑏,𝑐 ∈ℤ son tales que 𝑏2 −4𝑐 <0 y sea ℤ[𝛼] el conjunto de los 𝑧 =𝑝 +𝑞𝛼 ∈ℂ tales que 𝑝,𝑞 ∈ℤ.

1. Demuestre que ℤ[𝛼] es un subanillo conmutativo y unitario de ℂ respecto de las operaciones usuales de suma y producto de ℂ.
2. Demuestre que el conjunto 𝑈(ℤ[𝛼]) de los elementos invertibles del anillo conmutativo y unitario ℤ[𝛼] es un grupo con la multiplicación de ℂ (grupo multiplicativo de ℤ[𝛼]).
3. Pruebe que ℤ[𝛼] =ℤ[――𝛼].
4. Si se considera la aplicación 𝑓 :ℤ[𝛼] →ℕ definida por 𝑓(𝑧) =|𝑧|2, calcule 𝑓(𝑝 +𝑞𝛼) en función de 𝑏,𝑐,𝑝,𝑞.
5. Si 𝑓 es la aplicación definida en el apartado anterior, calcule 𝑓(𝑈(ℤ[𝛼])).

Dada la función 𝐹, real de variable real, mediante 𝐹(𝑥)=∫𝑥11−ln⁡(𝑡)𝑡𝑑𝑡, determine su dominio de definición, sus máximos y mínimos y además lím𝑛→∞⁡|𝐹(𝑛+1)−𝐹(𝑛)|.

Los puntos 𝐴(0,2𝑚) y 𝐵(0,𝑚) se transforman por una semejanza en los puntos respectivos 𝐴′(0,0) y 𝐵′(𝑚,0), siendo 𝑚 ≠0. Especifique un movimiento y una homotecia cuya composición sea la semejanza anterior y determine el centro de la semejanza, caso de que exista.