Matemáticas de oposiciones

Calcule el volumen de la figura resultante de girar alrededor del eje de ordenadas la superficie limitada por la curva de ecuación 4𝑥2=𝑦(1−𝑦)(2−𝑦)2.

Indique justificadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. 𝜋 es un número irracional porque no es solución de ninguna ecuación.
2. 𝜋 es un número irracional porque no se puede escribir como una fracción de números enteros.
3. 𝜋 es un número irracional porque no se puede escribir como una fracción de números primos.
4. Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta.

Es fácil demostrar que 3=√6+√6+√6+⋯ ¿Para cuántos valores 𝑎 ∈ℤ tales que 1 ≤𝑎 ≤1000 se cumple que 𝑙=√𝑎+√𝑎+√𝑎+⋯ es un número entero?

¿Cuál es el comando de GeoGebra para hacer el producto vectorial de dos vectores 𝑢 y 𝑣?

1. Hemos de crear nuestro propio comando para ejecutar el producto vectorial.
2. Ponemos Vec(u, v) en la ventana CAS.
3. Usamos el comando ProductoExterno.
4. Ponemos ProductoVectorial en la barra de entrada.

Sean 𝐸 y 𝐹 espacios vectoriales, 𝑆 un subespacio vectorial de 𝐸, 𝑓 :𝐸 →𝐹 una aplicación lineal y 𝑔 =𝑓|𝑆 :𝑆 →𝐹 su restricción a 𝑆. ¿Cuál de las siguientes respuestas es correcta?

1. Im⁡𝑓 =Im⁡𝑔.
2. Ker⁡𝑓 =Ker⁡𝑔.
3. Ker⁡𝑔 =𝑆 ∩Ker⁡𝑓.
4. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Una variable aleatoria 𝑋 sigue una distribución normal 𝑁(𝜇,𝜎). Si se toma una muestra de tamaño 𝑛 y se consideran la media muestral ¯𝑥 y el estimador de la desviación típica 𝑠, ¿cuál es la distribución muestral?

1. 𝑁(𝜇,𝜎).
2. 𝑁(¯𝑥,𝑠).
3. 𝑡-Student con 𝑛 −1 grados de libertad.

Tres amigos quieren hacer un muñeco de nieve apilando esferas. Con el objetivo de hacer un muñeco lo más alto posible, Marta dice: Hagamos el muñeco de dos bolas para que sea más alto. Bernardo responde: No, lo hemos de hacer de diez bolas y será más alto. Por su parte, Juana dice: Yo creo que la altura no cambia con el número de bolas, por lo que propongo hacerlo de seis bolas. Asumiendo que los tres disponen de la misma cantidad de nieve y que las bolas no se aplastarán ni caerán, ¿cuál de ellos tiene razón?

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Tenemos una bolsa con 𝑁 bolas y un subconjunto 𝑆 que consta de 𝑘 bolas. Extraemos sin repetición dos bolas de la bolsa. Dar una expresión matemática para la probabilidad de que, como mínimo, una de las dos bolas elegidas sea de 𝑆. Utilícela para comprobar que, si 𝑘 =𝑁, entonces la probabilidad anterior es 𝑝 =1 (suceso seguro), y para calcular la probabilidad en el caso 𝑘 =𝑁 −1.
2. Calcule la probabilidad de que dos puntos elegidos al azar sobre una circunferencia determinen una cuerda de longitud superior al radio de dicha circunferencia.

Sea 𝐴(𝑡) el área limitada en el primer cuadrante entre la elipse de ecuación 4𝑥2 +𝑦2 =1, la recta 𝑦 =1 y la recta 𝑥 =𝑡, para 0 ≤𝑡 ≤12. Calcule los valores máximo y mínimo de 𝐴(𝑡).

Dado un conjunto 𝑋 se consideran el conjunto P(𝑋) formado por los subconjuntos de 𝑋 y las operaciones en P(𝑋) definidas mediante: (𝐴,𝐵)↦𝐴△𝐵=(𝐴∪𝐵)∖(𝐴∩𝐵),(𝐴,𝐵)↦𝐴∗𝐵=𝐴∩𝐵.

1. Demuestre que (P(𝑋),△, ∗) es un anillo conmutativo tomando △ como suma y ∗ como producto.
2. Calcule todos los elementos invertibles de este anillo.
3. Demuestre que todos los elementos de este anillo son idempotentes, es decir, se cumple que 𝐴2 =𝐴 para cada 𝐴 ∈P(𝑋).
4. Demuestre que 2𝐴 =0 para cada 𝐴 ∈P(𝑋), donde 0 es el elemento neutro para la suma en este anillo.
5. Demuestre que si 𝐴,𝐵 ∈P(𝑋) entonces el ideal generado por 𝐴 y 𝐵 también está generado por 𝐴 ∪𝐵. Deduzca que todos los ideales finitamente generados de este anillo son principales.

El triángulo △𝐴𝐵𝐶 de la figura es rectángulo en 𝐵. Se gira △𝐴𝐵𝐶 dos veces con centro en 𝐴 con igual amplitud de giro. Calcule 𝐵𝐶𝐴𝑁.

Escoja uno de los problemas o preguntas propuestas anteriormente y diseñe una actividad basada total o parcialmente en este problema o cuestión que pueda ser implementada en el aula en una o más sesiones.