Matemáticas de oposiciones

Hallar el menor número natural 𝑚 tal que la ecuación 533𝑥 +299𝑦 =20000 +𝑚 tenga solución entera y calcular ésta.

Se considera un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Circunscribimos a esta esfera un cilindro de forma que una de sus bases esté sobre la base del cono. Sean 𝑉1 el volumen del cono y 𝑉2 el del cilindro.

1. Probar que 𝑉1 ≠𝑉2.
2. Encontrar el menor número real 𝑘 para el que se da la igualdad 𝑉1 =𝑘𝑉2 y, para dicho valor, calcular el ángulo bajo el que se ve el diámetro de la base del cono desde el vértice del mismo.

Sea 𝑓 la función real de variable real dada por 𝑓(𝑥)=ln⁡(1+𝑥2)−arctg⁡(𝑥). Demostrar que 𝑓(𝑛)(𝑥)=𝑃𝑛(𝑥)(1+𝑥2)𝑛, donde 𝑃𝑛(𝑥) es un polinomio de grado 𝑛 con 𝑛 raíces reales diferentes.

Un gerente sólo da plazas de restaurante mediante reserva previa de mesa. Sabe que el 15% de las reservas no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, calcular la probabilidad de:

1. Que dos reservas se queden sin mesa.
2. Que se ajusten las reservas a las mesas.
3. Que no haya "oberbooking" (más reservas que mesas).