Exámenes

📋 Examen de 2024 de Galicia

Problema 1

Análisis

Calcular la longitud y el área encerrada por la curva $𝑥 23 + 𝑦 23 = 𝑎 23$ .

Resolución

La curva $𝑥 23 + 𝑦 23 = 𝑎 23$ es un astroide, siendo $𝑎 \in ℝ +$ un parámetro real positivo. Una parametrización de la misma es: ${𝑥 (𝑡) = 𝑎 c o s 3 (𝑡), 𝑦 (𝑡) = 𝑎 s e n 3 (𝑡), 𝑡 \in [0, 2 𝜋) .$

Comenzamos calculando la longitud del astroide. La longitud de una curva $𝛼 (𝑡)$ dada en coordenadas paramétricas $𝛼 (𝑡) = (c o s (𝑡), s e n (𝑡))$ , $𝑡 \in [𝑎, 𝑏]$ es: $𝐿 𝑏 𝑎 (𝛼) = \int 𝑏 𝑎 \sqrt (𝑥' (𝑡)) 2 + (𝑦' (𝑡)) 2 𝑑 𝑡 .$ Teniendo en cuenta la parametrización del astroide, derivamos: $𝑥' (𝑡) = 3 𝑎 c o s 2 (𝑡) (- s e n (𝑡)), 𝑦' (𝑡) = 3 𝑎 s e n 2 (𝑡) c o s (𝑡) .$ Por tanto, $𝑥' (𝑡) 2 + 𝑦' (𝑡) 2 = 9 𝑎 2 (c o s 4 (𝑡) s e n 2 (𝑡) + s e n 4 (𝑡) c o s 2 (𝑡)) = 9 𝑎 2 c o s 2 (𝑡) s e n 2 (𝑡) (c o s 2 (𝑡) + s e n 2 (𝑡)) = = 9 𝑎 2 c o s 2 (𝑡) s e n 2 (𝑡) .$ Así, la longitud de la curva es: $𝐿 2 𝜋 0 (𝛼) = 4 𝐿 𝜋 2 0 (𝛼) = 4 \int 𝜋 2 0 \sqrt 9 𝑎 2 c o s 2 (𝑡) s e n 2 (𝑡) 𝑑 𝑡 = 12 𝑎 \int 𝜋 2 0 c o s (𝑡) s e n (𝑡) 𝑑 𝑡 = 12 𝑎 [s e n 2 (𝑡) 2] 𝜋 2 0 = 6 𝑎 .$
El área encerrada por el astroide es $𝐴 = 4 \int 𝑎 0 𝑓 (𝑥) 𝑑 𝑥 = 4 \int 𝑎 0 𝑦 (𝑥) 𝑑 𝑥 .$ Hacemos el cambio de variable: $⎧ { { {⎨ { { {⎩ 𝑥 = 𝑎 c o s 3 (𝑡) \Rightarrow 𝑑 𝑥 = 3 𝑎 c o s 2 (𝑡) (- s e n (𝑡)) 𝑑 𝑡, 𝑦 = 𝑎 s e n 3 (𝑡), s i 𝑥 = 0, 𝑡 = 𝜋 2, s i 𝑥 = 𝑎, 𝑡 = 0 .$ Por tanto, $𝐴 = 4 \int 0 𝜋 2 𝑎 s e n 3 (𝑡) 3 𝑎 c o s 2 (𝑡) (- s e n (𝑡)) 𝑑 𝑡 = 12 𝑎 2 \int 𝜋 2 0 s e n 4 (𝑡) c o s 2 (𝑡) 𝑑 𝑡 .$ Operamos en la expresión $s e n 4 (𝑡) c o s 2 (𝑡)$ . A partir de la identidad fundamental de la trigonometría y la fórmula del coseno del ángulo doble, ${c o s 2 (𝑡) + s e n 2 (𝑡) = 1, c o s (2 𝑡) = c o s 2 (𝑡) - s e n 2 (𝑡) \Rightarrow 2 c o s 2 (𝑡) = 1 + c o s (2 𝑡) \Leftrightarrow c o s 2 (𝑡) = 1 + c o s (2 𝑡) 2 .$ De esta forma, $s e n 4 (𝑡) c o s 2 (𝑡) = (1 - 1 + c o s (2 𝑡) 2) 2 (1 + c o s (2 𝑡) 2) = 18 (12 - c o s (4 𝑡) 2 - c o s (2 𝑡) s e n 2 (2 𝑡)) .$ Por tanto, $𝐴 = 3 𝑎 2 2 \int 𝜋 2 0 12 - c o s (4 𝑡) 2 - c o s (2 𝑡) s e n 2 (2 𝑡) 𝑑 𝑡 = 3 𝑎 2 2 [𝑡 2 - s e n (4 𝑡) 8 - s e n 3 (2 𝑡) 6] 𝜋 2 0 = 3 𝜋 8 𝑎 2 .$

Problema 2

Álgebra

Encontrar todas las soluciones de la ecuación $3 \sqrt 5 𝑥 - 2 = 𝑥 3 + 2 5 .$

Resolución

Las posibles soluciones de la ecuación son los puntos de corte de las funciones $𝑓, 𝑔 : ℝ \to ℝ$ dadas por: $𝑓 (𝑥) = 3 \sqrt 5 𝑥 - 2 y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 3 + 2 5 .$

Veamos que $𝑔 (𝑥)$ tiene función inversa. Observamos que: $𝑔' (𝑥) = 3 𝑥 2 5 \geq 0 p a r a t o d o 𝑥 \in ℝ .$ Así que $𝑔$ es una función estríctamente creciente en $ℝ$ y continua, luego inyectiva. Además, observamos que: $l í m 𝑥 \to + \infty 𝑔 (𝑥) = + \infty, l í m 𝑥 \to - \infty 𝑔 (𝑥) = - \infty .$ Luego $𝑔$ es sobreyectiva, así que es biyectiva y tiene inversa.

Hallamos la función inversa de $𝑔$ . $𝑥 = 𝑦 3 + 2 5 \Leftrightarrow 5 𝑥 = 𝑦 3 + 2 \Leftrightarrow 𝑦 3 = 5 𝑥 - 2 \Leftrightarrow 𝑦 = 3 \sqrt 5 𝑥 - 2 .$ Observamos que $𝑔 - 1 = 𝑓$ .

Una función y su inversa son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Por tanto, los puntos de corte de $𝑓$ y $𝑔$ son los puntos de corte de las mismas con la bisectriz. De esta forma, resolver la ecuación original equivale a resolver la ecuación: $𝑥 3 + 2 5 = 𝑥 \Leftrightarrow 𝑥 3 - 5 𝑥 + 2 = 0 \Leftrightarrow (𝑥 - 2) (𝑥 2 + 2 𝑥 - 1) = 0 \Leftrightarrow ⎧ { {⎨ { {⎩ 𝑥 = 2, 𝑥 2 + 2 𝑥 - 1 = 0 \Leftrightarrow {𝑥 = - 1 + \sqrt 2, 𝑥 = - 1 - \sqrt 2 .$

Problema 3

Álgebra

Tres personas naufragan en una isla desierta en la que vive un mono. Estas personas pasan todo el primer día recogiendo cocos. Por la noche una de ellas despierta y, desconfiada, decide separar su parte. Divide los cocos en 3 montones, toma su parte y la oculta. Como sobra un coco, se lo da al mono. Poco después una 2ª persona despierta y hace lo mismo con los cocos que aún quedan en el montón común. Al dividir los cocos en 3 montones vuelve a sobrar un coco que se lo da al mono y también oculta su parte. Por último, la tercera persona hace lo mismo, es decir, divide también los cocos en 3 montones, vuelve a sobrar un coco y también se lo da al mono y también oculta su parte. Al día siguiente por la mañana, dividen los cocos que no ocultaron en 3 partes sin que sobre ninguno. Sabiendo que el número de cocos que recogieron durante el día fue mayor que 200 pero menor que 300, ¿cuántos cocos recogieron inicialmente? ¿Cuántos se quedaron en total cada uno de ellos?

Resolución

Sea $𝑁$ el número de cocos buscado.

La primera persona oculta $𝑁 - 1 3$ , deja en el montón $𝑀 = 2 (𝑁 - 1) 3$ y le da un coco al mono.
La segunda persona oculta $𝑀 - 1 3$ , deja en el montón $𝑃 = 2 (𝑀 - 1) 3$ y le da un coco al mono.
La tercera persona oculta $𝑃 - 1 3$ , deja en el montón $𝑄 = 2 (𝑃 - 1) 3$ y le da un coco al mono.

Por hipótesis, $𝑄$ es múltiplo de 3, luego $𝑄 = 3 𝑘$ para algún $𝑘 \in ℤ$ . Buscamos expresar $𝑁$ en función de $𝑘$ . $2 (𝑃 - 1) 3 = 𝑄 = 3 𝑘 \Rightarrow 𝑃 = 9 𝑘 2 + 1, 2 (𝑀 - 1) 3 = 𝑃 = 9 𝑘 2 + 1 \Rightarrow 𝑀 = 27 𝑘 4 + 52, 2 (𝑁 - 1) 3 = 𝑀 = 27 𝑘 4 + 52 \Rightarrow 𝑁 = 81 𝑘 8 + 194 .$ Por hipótesis, $𝑁 \in ℤ$ y es tal que $200 < 𝑁 < 300$ , luego: $200 < 81 𝑘 8 + 194 < 300 \Leftrightarrow 20 \leq 𝑘 \leq 29 .$ Como $𝑘 \in ℤ$ , los posibles valores de $𝑘$ son $20, 21, \dots, 29$ . Además, dado que $𝑁 \in ℤ$ , entonces: $81 𝑘 8 + 194 \in ℤ \Leftrightarrow 81 𝑘 + 38 \equiv 0 (m o d 8) \Leftrightarrow 𝑘 \equiv 2 (m o d 8) .$ Luego el único valor de $𝑘$ que cumple las condiciones pedidas es $𝑘 = 26$ . Por tanto, el número inicial de cocos es $𝑁 = 81 \cdot 26 8 + 194 = 268 .$

La primera persona se ha quedado $𝑁 - 1 3 + 𝑄 3 = 115$ cocos.
La segunda persona se ha quedado $𝑀 - 1 3 + 𝑄 3 = 85$ cocos.
La tercera persona se ha quedado $𝑃 - 1 3 + 𝑄 3 = 65$ cocos.

Problema 4

Geometría

Dentro de una esfera maciza de 80 cm de diámetro existe una cavidad con forma de cono equilátero inscrito dentro de dicha esfera. Trace un plano normal al eje del cono de tal manera que la corona circular que dicho plano determina al cortar la esfera y el cono tenga área máxima.

Problema 5

Álgebra

Sea $𝑃 𝑛$ la sucesión de polinomios dada por: $𝑃 𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 + 2 - 2 𝑥 + 1, 𝑛 = 1, 2, \dots$

Compruebe que todos los polinomios de la sucesión tienen un cero común.
Demostrar que cada polinomio de la sucesión tiene como mucho un cero en el intervalo $(0, 1)$ .
Demostrar que cada polinomio de la sucesión tiene un cero en el intervalo $(0, 1)$ .
Sea ${𝑥 𝑛 : 𝑛 \in ℕ}$ la sucesión formada por los ceros de $𝑃 𝑛$ en $(0, 1)$ . Demostrar que converge. Nota: Representar gráficamente $𝑦 = 𝑃 𝑛 (𝑥)$ .
Calcular $l í m 𝑛 \to \infty 𝑥 𝑛$ .

📋 Examen de 2024 de Galicia🖨️ Imprimir

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

📋 Examen de 2024 de Galicia