Matemáticas de oposiciones

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Sea 𝐶 una circunferencia y 𝑃 un punto del plano euclídeo exterior a la circunferencia. Sea 𝑠 una recta que pasa por 𝑃 y es secante con 𝐶. Si 𝐴 y 𝐵 son los puntos de corte de la circunferencia con 𝑠, demuestre que el producto 𝑃𝐴 ⋅𝑃𝐵 no depende de la recta secante 𝑠 elegida.
2. En un terreno llano se ha construido un estanque de planta circular en el que la superficie libre de agua enrasa con el terreno. El estanque está centrado en el punto 𝐶(43,31) y su radio es de 30 m. Un pato, situado inicialmente en el punto 𝑃(3,1), marcha en línea recta y con velocidades uniformes de 0,32 m/s y 0,96 m/s, sobre tierra y nadando, respectivamente, con el fin de llegar a la orilla opuesta. Determine la dirección que debe tomar el pato para que la duración del recorrido sea la mínima posible y calcule el tiempo correspondiente.

Se considera el espacio vectorial real ℝ2 y se define la aplicación 𝐹 :ℝ2 ×ℝ2 →ℝ tal que 𝐹((𝑥1,𝑥2),(𝑦1,𝑦2))=𝑥1𝑦1−𝑥1𝑦2−𝑥2𝑦1+𝑎𝑥2𝑦2.

1. Determine los valores de 𝑎 ∈ℝ para los cuales el par (ℝ2,𝐹) es un espacio vectorial euclídeo y calcule la matriz de la métrica en la base canónica.
2. Para los valores de 𝑎 que lo permitan, calcule la base ortonormal de (ℝ2,𝐹). ¿Cuál es la matriz de la métrica en esa base?
3. Sea (ℝ3,𝐺) el espacio vectorial euclídeo que hace ortonormal a la base 𝐵 ={(1,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}. Dé la matriz coordenada de la métrica 𝐺 en la base canónica.
4. Supongamos que 𝐴 es una matriz simétrica real 𝑛 ×𝑛 que satisface la condición 𝐴3−3𝐴2+6𝐴−2𝐼=𝑂 donde 𝐼 y 𝑂 son las matrices unidad y nula de tamaño 𝑛 ×𝑛, respectivamente. Demuestre que existe un único 𝑐 ∈ℝ de tal manera que 𝐴 =𝑐𝐼.

Un chico y una chica deciden encontrarse en determinado lugar en algún momento entre las 17:00 y las 18:00. Cada uno esperará al otro un máximo de 10 minutos. Halle la probabilidad de que ambos se encuentren, suponiendo que llegan independientemente al lugar de la cita, si:

1. El chico llega a las 17:30.
2. Llegando uno y el otro en cualquier momento.

Con un solo corte recto puedes dividir un pastel circular en dos partes. Un segundo corte que atraviese el primero producirá, probablemente, cuatro partes, y un tercer corte puede llegar a producir siete partes.

1. ¿Cuál es el mayor número de trozos que puedes obtener con seis cortes rectos?
2. ¿Y, en general, cuántos pedazos de pastel se obtienen con 𝑛 cortes?

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Halle un conjunto infinito de ternas (𝑎,𝑏,𝑐) formadas por números naturales distintos que sean solución de la ecuación 𝑎2+𝑏2+𝑐2=2𝑐(𝑎+𝑏).
2. Demuestre que la ecuación 𝑎3+𝑏3−𝑐3=3𝑏(𝑎−𝑐)(𝑎+𝑐−𝑏) no tiene soluciones (𝑎,𝑏,𝑐) ∈ℕ3 tales que 𝑎 <𝑏 <𝑐.

El llamado Juego de la Vida se juega sobre un tablero cuadriculado en el que se colocan fichas de color negro en algunas de las casillas. Estas fichas pueden "morir" o "vivir" según las siguientes reglas:

• Cada ficha que tenga dos o tres fichas vecinas sobrevive y pasa a la siguiente generación.
• Cada ficha que tenga cuatro o más vecinas muere y se retira del tablero. Las fichas con solo una o ninguna vecina también mueren.
• Cada casilla vacía que tenga exactamente tres fichas vecinas genera una nueva ficha.