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📋 Examen de 2016 de Madrid

Problema 1

Sea {𝑎𝑛} la sucesión de números naturales dada por: 𝑎𝑛=𝑛∑𝑖,𝑗=1𝑖𝑗 y sea 𝑝 un número primo. Demuestre que 𝑎𝑝+1 es múltiplo de 𝑝 si y sólo si 𝑝 ≠3.

Problema 2

Un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de centro 𝑂 y radio 4 cm se gira un ángulo recto en torno al punto 𝑂 obteniendo un nuevo triángulo. Determine el área de la parte común a ambos triángulos.

Problema 3

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

  1. Calcule la longitud de la curva C que tiene por ecuación: (𝑥𝑎)2/3+(𝑦𝑎)2/3=1(𝑎>0).
  2. Sea 𝑓 una función real de variable real que cumple, para los 𝑥 de cierto intervalo que contiene al origen, la desigualdad |𝑓(𝑥)| ≤|𝑥|𝑟, donde 𝑟 ≥1. Demuestre que 𝑓 es derivable en el origen y calcule 𝑓′(0).

Problema 4

Tres máquinas A, B y C producen una determinada pieza. La máquina A la elabora con una longitud que se distribuye según una distribución normal de parámetros 𝜇 =165 y 𝜎 =5; la máquina B la fabrica con una longitud que se distribuye según una distribución normal de parámetros 𝜇 =175 y 𝜎 =5, y la máquina C también las hace con una longitud que se distribuye normalmente de parámetros 𝜇 =170 y 𝜎 =5. Las longitudes son en metros y las tres máquinas fabrican en gran cantidad.

  1. El 50% de la producción la hace la máquina A, el 20% de la producción la realiza la máquina B y el resto la máquina C. Se eligen tres piezas al azar y se sabe que miden más de 173 m. cada una, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezcan a la tercera máquina?
  2. Si se eligen 100 piezas al azar de la máquina B, independientes unas de otras, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 60 midan más de 173 m?

Resolución

Sean 𝑋𝐴, 𝑋𝐵 y 𝑋𝐶 las longitudes en metros de las barras fabricadas por las máquinas A, B, y C, respectivamente. Se tiene que 𝑋𝐴 ∼𝑁(165,5), 𝑋𝐵 ∼𝑁(175,5) y 𝑋𝐶 ∼𝑁(170,5).

  1. Sean los sucesos: 𝐴=𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐴,𝐵=𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐵,𝐶=𝑠𝑒𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝐶,𝑀=𝑚𝑒𝑑𝑖𝑟 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 173 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠. Sabemos que: 𝑃(𝐴)=0,5,𝑃(𝐵)=0,2,𝑃(𝐶)=0,3. Calculamos las probabilidades condicionadas. 𝑃(𝑀|𝐴)=𝑃(𝑋𝐴>173)=𝑃(𝑍>1,6)=1−𝑃(𝑍<1,6)=0,0548,𝑃(𝑀|𝐵)=𝑃(𝑋𝐵>173)=𝑃(𝑍>−0,4)=𝑃(𝑍<0,4)=0,6554,𝑃(𝑀|𝐶)=𝑃(𝑋𝐶>173)=𝑃(𝑍>0,6)=1−𝑃(𝑍<0,6)=0,2743. Podemos organizar los datos en un diagrama de árbol.
    𝑀
    0,0548←←←←←←←←←←←←←←←←←→
    𝐴
    0,5←←←←←←←←←←←←←→ 0,9452←←←←←←←←←←←←←←←←←→
    𝑀𝑐
    𝑀
    0,6554←←←←←←←←←←←←←←←←←→
    0,2←←←←←←←←←←←←←→ 𝐵
    0,34446←←←←←←←←←←←←←←←←←←→
    𝑀𝑐
    𝑀
    0,3←←←←←←←←←←←←←→ 0,2743←←←←←←←←←←←←←←←←←→
    𝐶
    0,7257←←←←←←←←←←←←←←←←←→
    𝑀𝑐
    Por el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que una pieza mida más de 173 metros es: 𝑃(𝑀)=𝑃(𝑀∩𝐴)+𝑃(𝑀∩𝐵)+𝑃(𝑀∩𝐶)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝑀|𝐴)+𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝑀|𝐵)+𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝑀|𝐶)==0,5⋅0,0548+0,2⋅0,6554+0,3⋅0,2743=0,24077. Así que la probabilidad de que una pieza proceda de C sabiendo que mide más de 173 metros es: 𝑃(𝐶|𝑀)=𝑃(𝐶∩𝑀)𝑃(𝑀)=𝑃(𝐶)⋅𝑃(𝑀|𝐶)𝑃(𝑀)=0,3⋅0,27430,24077≈0,3418. Por tanto, como las tres piezas son independientes, la probabilidad de que las tres procedan de 𝐶 sabiendo que miden más de 173 metros es: 𝑃(𝐶|𝑀)3=0,34183≈0,04.
  2. Sea 𝑝 =𝑃(𝑀|𝐵) =0,6554 y sea 𝑌 el número de piezas de 𝐵 que miden más de 173 metros. Entonces 𝑌 ∼Bi⁡(𝑛 =100,𝑝). Como 𝑛 =100 >30, por el teorema central del límite podemos aproximar 𝑌 a una normal con: 𝜇=𝑛𝑝=100⋅0,6554=65,54,𝜎2=𝑛𝑝(1−𝑝)=100⋅0,6554⋅0,3446≈22,5851. Por tanto, podemos aproximar: 𝑃(𝑌≥60)=𝑃(𝑌>59,5)≈𝑃(𝑍≥59,5−65,54√22,5851)=𝑃(𝑍≥−1,27)=𝑃(𝑍≤1,27)=0,898.