Matemáticas de oposiciones

Sean 𝑛 un entero positivo y la variable aleatoria 𝑋 definida por la función de probabilidad 𝑓(𝑥)={𝑘𝑥,si 𝑥∈{1,…,𝑛},0,en el resto de los casos.

1. Obtenga el valor de 𝑘 y la función de distribución de 𝑋.
2. Calcule la probabilidad de que 𝑋 tome un valor par.

Se define un número perfecto como aquel número entero positivo que es igual a la suma de todos sus divisores positivos excepto él mismo.

1. Demuestre que los números pares perfectos son de la forma 2𝑘−1 ⋅(2𝑘 −1) donde 2𝑘 −1 es un número primo y 𝑘 >1.
2. Demuestre que si 2𝑘 −1 es un número primo entonces 𝑘 también lo es.
3. Demuestre que los números pares perfectos terminan en 6 u 8.
4. Demuestre que la suma de los inversos de los divisores positivos de un número perfecto par es 2.

Sean 𝑎 y 𝑏 dos números reales tales que 𝑎 +𝑏 ≠0 y consideramos las sucesiones {𝑢𝑛} y {𝑣𝑛} definidas recursivamente a partir de 𝑢0 =𝑎 y 𝑣0 =𝑏 mediante: 𝑢𝑛+1=𝑢2𝑛𝑢𝑛+𝑣𝑛,𝑣𝑛+1=𝑣2𝑛𝑢𝑛+𝑣𝑛,(𝑛≥0).

1. Si 𝑎 =𝑏, calcule los límites de {𝑢𝑛} y {𝑣𝑛}.
2. Si |𝑏| <|𝑎|, demuestre que las sucesiones {𝑢𝑛} y {𝑣𝑛} son convergentes y calcule los límites de ambas.

Dado el triángulo rectángulo cuyos lados miden 6, 8 y 10, se pide:

1. Demuestre que la recta que biseca su área y su perímetro es única.
2. Calcule dicha recta.