Icono Matemáticas de oposiciones

GitHub

📋 Examen de 2015 de Extremadura

Problema 1

Sea M el conjunto de todas las matrices 2 ×2 de la forma 𝑀(𝑎,𝑏)=(𝑎𝑏𝑏𝑎),(𝑎,𝑏).

  1. Demuestre que M tiene estructura algebraica de cuerpo conmutativo con las operaciones usuales de suma y producto de matrices.
  2. Demuestre que M es isomorfo al cuerpo de los números complejos, hallando el isomorfismo 𝑓 : M correspondiente.
  3. Utilizando el isomorfismo definido anteriormente, calcule 4√ √ √ √(12323212).

Problema 2

Un profesor de Educación Secundaria quiere poner el siguiente ejercicio a sus alumnos:

Un depósito posee dos grifos de llenado; uno de ellos llena el depósito en 𝑎 minutos y el otro, independiente del anterior, lo llena en 𝑏 minutos. ¿Cuántos minutos se tarda en llenar el depósito si se abren los dos grifos a la vez?

  1. Para que resulte sencillo, el profesor elige 𝑎, 𝑏 y la solución 𝑐 entre los números naturales. ¿Qué valores pueden tomar 𝑎 y 𝑏 en función de 𝑐?
  2. Utilice el apartado anterior para encontrar todas las soluciones (𝑎,𝑏) del problema, con 𝑎,𝑏 , para 𝑐 =6.

Problema 3

En un triángulo isósceles 𝐴𝐵𝐶 cuyos lados iguales son 𝐴𝐵 y 𝐵𝐶, existe un punto 𝑃 en el lado 𝐵𝐶 tal que 𝐵𝑃 =𝑃𝐴 =𝐴𝐶.

  1. Halle el valor de la razón 𝐵𝑃𝑃𝐶. ¿Qué relación tiene con la proporción áurea?
  2. Calcule la medida de los ángulos del triángulo 𝐴𝐵𝐶 y el coseno de dichos ángulos.

Problema 4

  1. Calcule el límite siguiente e interprete geométricamente dicho valor: lím𝑛1𝑛2𝑛𝑘=1(𝑛+22𝑘𝑛𝑘2).
  2. Si 𝐹 es la función real de variable real definida mediante: 𝐹(𝑥)=lím𝑛𝑥2𝑛2𝑛𝑘=1(𝑛+22𝑘𝑛𝑥2𝑘2𝑥4), determine la función derivada 𝐹.