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📋 Examen de 2018 de La Rioja

Problema 1

Se corta por un plano paralelo a una generatriz un cono equilátero de lado 10. Se pide el área del segmento parabólico así obtenido cuando esta área es máxima.

Problema 2

Sea la matriz 𝑇 =(𝑡𝑖𝑗) M3() definida por 𝑡𝑖𝑗={0,si 𝑖=𝑗,1,si 𝑖𝑗.

  1. Demuestre que para todo 𝑘 existen números reales 𝑎𝑘 y 𝑏𝑘 tales que 𝑇𝑘=𝑎𝑘𝑇+𝑏𝑘𝐼3, donde 𝐼3 M3() es la matriz identidad, y halle la relación de recurrencia de los escalares 𝑎𝑘 y 𝑏𝑘.
  2. Calcule los límites lím𝑘𝑎𝑘𝑏𝑘ylím𝑘𝑎𝑘𝑎𝑘1.

Problema 3

En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 los puntos 𝐷, 𝐸 y 𝐹 dividen cada lado en el que están situados en dos segmentos de longitud uno doble que el otro. Determine la relación entre el área del triángulo sombreado y el área 𝑆 del triángulo original. Figura

Problema 4

Se tienen 𝑛 bolas numeradas 1,2,,𝑛, y se ordenan aleatoriamente una detrás de otra. Calcular lím𝑛𝑝𝑛, donde 𝑝𝑛 es la probabilidad de que ninguna bola esté en la posición que indica su número.