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📋 Examen de 2018 de Aragón

Problema 1

Álgebra

Sean $𝑉$ un $𝕂$ -espacio vectorial, donde $𝕂$ es un cuerpo de característica distinta de $2$ , y $𝑓 : 𝑉 \to 𝑉$ una aplicación lineal tal que $𝑓 2 = I d .$ Sean $𝑉 1 = {𝑥 \in 𝑉 : 𝑓 (𝑥) = 𝑥} y 𝑉 2 = {𝑥 \in 𝑉 : 𝑓 (𝑥) = - 𝑥} .$ Demuestre que $𝑉 = 𝑉 1 \oplus 𝑉 2 .$ ¿Significa esto que para todo $𝑣 \in 𝑉$ se cumple que $𝑓 (𝑣) = 𝑣$ o bien $𝑓 (𝑣) = - 𝑣$ ?

Nota: $𝑓 2 = 𝑓 \circ 𝑓 = i d$ es el endomorfismo identidad.

Problema 2

Análisis

Se considera la sucesión ${𝑢 𝑛}$ tal que $𝑢 1 = \sqrt 𝑎, 𝑢 2 = \sqrt 𝑎 + \sqrt 𝑎, 𝑢 3 = \sqrt 𝑎 + \sqrt 𝑎 + \sqrt 𝑎, \dots$ donde $𝑎$ es un número real positivo. Estudie si la sucesión ${𝑢 𝑛}$ es convergente y, en caso afirmativo, determine su límite.

Problema 3

Geometría

Se dan dos circunferencias de centros $𝑂$ y $𝑂'$ y radios $𝑅$ y $𝑟$ , respectivamente, tangentes exteriores en el punto $𝐴 .$ Se traza la tangente común en el punto de intersección de las dos circunferencias. Por un punto $𝐵$ de dicha tangente se trazan dos tangentes $𝐵 𝐶$ y $𝐵 𝐶'$ , siendo $𝐶$ y $𝐶'$ los puntos de contacto con cada una de las circunferencias.

Calcule el límite del cociente de las áreas de los triángulos $△ 𝐴 𝐵 𝐶$ y $△ 𝐴 𝐵 𝐶'$ cuando el punto $𝐵$ tiende hacia el punto $𝐴 .$
Calcule el límite anterior cuando $𝐵$ se aleja indefinidamente del punto $𝐴 .$

Problema 4

Probabilidad

Un aficionado clasifica cada día como seco o mojado y supone que la probabilidad de que el tiempo atmosférico de cualquier día sea igual al precedente está dada por $𝑝$ , siendo $0 < 𝑝 < 1 .$ Sea $𝑝 1$ la probabilidad de que el tiempo sea seco el primer día y $𝑝 𝑛$ la de que sea seco el $𝑛$ -ésimo día. Exprese $𝑝 𝑛$ en función de $𝑝$ y $𝑝 1$ y calcule $l í m 𝑛 \to \infty 𝑝 𝑛 .$

Problema 5

Álgebra

Sea $𝑘$ un número natural no nulo y sea $𝑓$ la función real de variable real dada por $𝑓 (𝑥) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ (11) 00 \dots 0 𝑥 (21) (22) 0 \dots 0 𝑥 2 (31) (32) (33) \dots 0 𝑥 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ (𝑘 1) (𝑘 2) (𝑘 3) \dots (𝑘 𝑘) 𝑥 𝑘 (𝑘 + 1 1) (𝑘 + 1 2) (𝑘 + 1 3) \dots (𝑘 + 1 𝑘) 𝑥 𝑘 + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣$

Calcule $𝑓 (𝑥 + 1) - 𝑓 (𝑥) .$
Para cada $𝑛 \in ℕ +$ , exprese mediante esta función la suma $1 𝑘 + 2 𝑘 + \dots + 𝑛 𝑘 .$

Problema 6

Análisis

Demuestre que si una función $𝑓$ real de variable real cumple que $𝑓 (𝑥) - 𝑓 (𝑦) \leq (𝑥 - 𝑦) 2$ para cualesquiera números reales $𝑥$ e $𝑦$ , entonces $𝑓$ es una función constante.

Resolución

Sea $𝑎 \in ℝ .$ Para cada $𝑥 \in ℝ ∖ {𝑎}$ se tiene que: $𝑓 (𝑥) - 𝑓 (𝑎) \leq (𝑥 - 𝑎) 2, 𝑓 (𝑎) - 𝑓 (𝑥) \leq (𝑎 - 𝑥) 2 = (𝑥 - 𝑎) 2 .$ Combinando ambas expresiones, obtenemos que: $0 \leq | 𝑓 (𝑥) - 𝑓 (𝑎) | \leq (𝑥 - 𝑎) 2 \Leftrightarrow 0 \leq | 𝑓 (𝑥) - 𝑓 (𝑎) | | 𝑥 - 𝑎 | \leq | 𝑥 - 𝑎 | .$ Por el criterio del sándwich, se tiene que: $l í m 𝑥 \to 𝑎 | 𝑓 (𝑥) - 𝑓 (𝑎) | | 𝑥 - 𝑎 | = 0 .$ Luego $𝑓$ es derivable en $𝑎$ y $𝑓' (𝑎) = 0 .$ Por tanto, $𝑓$ es constante.

Problema 7

Geometría

Sean $Σ$ y $Γ$ dos circunferencias; la primera de centro $𝑂$ y radio $𝑅$ y la segunda de centro $𝐶$ y radio $𝑅 4 .$ La circunferencia $Γ$ rueda sin deslizar por la parte interior de $Σ$ , siendo tangentes interiores.

Halle el lugar geométrico de un punto fijo de $Γ .$
Deduza la ecuación de la curva resultante en coordenadas cartesianas.

Problema 8

Probabilidad

En una circunferencia se seleccionan al azar tres puntos $𝐴$ , $𝐵$ y $𝐶$ , y se unen con tres segmentos, formando un triángulo inscrito en la circunferencia. Calcular la probabilidad de que ese triángulo no sea obtusángulo.