Matemáticas de oposiciones

Dada la cónica 𝑦2 =2𝑝𝑥 y el haz de rectas 𝑦 −𝑎 =𝑡(𝑥 −𝑏), halle el lugar geométrico de los puntos en que las rectas de este haz cortan a las tangentes a la cónica en los puntos de intersección de ésta con el haz de rectas 𝑦 =𝑡𝑥.

Demuestre que para todo número natural positivo 𝑛, el número entero 𝑎𝑛 =4𝑛+1 +52𝑛−1 es múltiplo de 21.

Sea 𝑔 :ℝ →ℝ una función continua. Se define la función 𝑓:ℝ→ℝ,𝑥↦∫𝑥0sen⁡(𝑡)⋅𝑔(𝑥−𝑡)𝑑𝑡. Demuestre que 𝑓 es dos veces derivable y que cumple la igualdad 𝑓″ +𝑓 =𝑔.

Se considera la aplicación lineal 𝑓 :ℝ3 →ℝ3 definida por 𝑓(𝑒1)=𝑒2+𝑒3,𝑓(𝑒2)=𝑒1+𝑒3,y𝑓(𝑒3)=𝑒1+𝑒2, siendo B ={𝑒1,𝑒2,𝑒3} la base canónica de ℝ3.

1. Calcule la matriz asociada a 𝑓 respecto de B y analice si esta aplicación lineal es o no inyectiva.
2. Pruebe que para todo 𝑛 ∈ℕ se cumple que 𝑓𝑛 =𝑎𝑛𝑓 +𝑏𝑛id donde 𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 son números reales a determinar e Id :ℝ3 →ℝ3 es la identidad de ℝ3.

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Demuestre que entre todos los triángulos con la misma base y mismo ángulo opuesto el isósceles tiene área máxima.
2. Pruebe que entre todos los triángulos inscritos en una circunferencia dada el equilátero tiene área máxima.

Una línea de autobuses tiene longitud 𝑙. La probabilidad de que un pasajero suba al autobús en las proximidades del punto 𝑥 es proporcional al producto 𝑥 ⋅(𝑙 −𝑥)2, y la probabilidad de que un pasajero que subió en el punto 𝑥 baje en el punto 𝑦 es proporcional a (𝑦 −𝑥)𝑟, siendo 𝑟 >0. Calcule:

1. Las constantes de proporcionalidad de ambas probabilidades.
2. La probabilidad de que un pasajero no suba al autobús antes del punto 𝑧 del recorrido.
3. La probabilidad de que un pasajero que subió en el punto 𝑥 descienda después del punto 𝑧 del recorrido del autobús.