Matemáticas de oposiciones

Dados 𝑥 ∈ℝ y el determinante Δ𝑛=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1−1200⋯00𝑥1−130⋯00𝑥201−14⋯00𝑥3001⋯00⋮⋮⋮⋮⋱⋮⋮𝑥𝑛−2000⋯1−1𝑛𝑥𝑛−1000⋯01∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ calcule lím𝑛→∞⁡Δ𝑛.

Dados dos números reales positivos 𝑥 e 𝑦 se pide:

1. Demuestre que 𝑥𝑦 <𝑦𝑥 cuando 𝑥 <𝑦 <𝑒.
2. Demuestre que 𝑥𝑦 >𝑦𝑥 cuando 𝑒 <𝑥 <𝑦.

En una de las mesas de un casino se juega a los dados como sigue: El jugador realizará sucesivos lanzamientos de dos dados equilibrados hasta que la suma de los resultados de ambos sea 4 o 7. Si sale 4 habrá ganado, y si sale 7 habrá perdido. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el jugador?

La corona circular que forman dos circunferencias concéntricas Γ y Γ′ de radios 𝑟 y 𝑟′ (𝑟 <𝑟′) contiene a 8 circunferencias Γ1,…,Γ8 tales que:

• Γ𝑖 es tangente a Γ y Γ′ para cada 𝑖 =1,…,8.
• Γ𝑖 y Γ𝑖+1 son tangentes para cada 𝑖 =1,…,7.
• Γ8 y Γ1 son tangentes.