Matemáticas de oposiciones

Resuelve la siguiente ecuación en ℝ, conocido 𝛼 ∈ℝ: (1+𝑖𝑥1−𝑖𝑥)4=1+𝑖tg⁡(𝛼2)1−𝑖tg⁡(𝛼2)

Se considera la aplicación 𝑓 :ℝ3 →ℝ3 definida por 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=(𝑥−4𝑦,−𝑦,2𝑦+𝑧).

1. Demuestre que 𝑓 es un endomorfismo del espacio vectorial ℝ3.
2. Determine la expresión matricial de 𝑓 respecto de la base canónica de ℝ3.
3. Calcule el núcleo y la imagen de 𝑓.
4. Calcule los valores propios de 𝑓 y los subespacios de vectores propios asociados.
5. Determine si la matriz 𝐴 asociada a la aplicación lineal 𝑓 en la base canónica es diagonalizable y, en caso afirmativo, calcule una matriz diagonal semejante a 𝐴 y una matriz de paso correspondientes.
6. Calcule la matriz 𝐴9.

Se considera un triángulo 𝐴𝐵𝐶 y se llama 𝐸 al punto medio del lado 𝐴𝐶. Demuestre que: área(𝐴𝐵𝐶)=𝐵𝐶2−𝐴𝐵24⋅tg⁡(∠𝐴𝐸𝐵).

La longitud del radio de una esfera es una variable aleatoria con función de densidad 𝑓(𝑥)=𝑘𝑥(1−𝑥),si 0≤𝑥≤1 y nula en el resto.

1. Calcule el valor de la constante 𝑘 para que 𝑓 sea efectivamente una función de densidad. Calcule asimismo la función de distribución.
2. Se sabe que el radio de la esfera mide más de 13. Calcule la probabilidad de que su longitud sea inferior a 34.
3. Si 𝑆 =4𝜋𝑥2 es la superficie de la esfera de la radio 𝑥, calcule 𝑃(𝑆 >𝑠).

Calcule el área de la intersección de los recintos que limitan las elipses concéntricas 𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,𝑥2𝑏2+𝑦2𝑎2=1.