Matemáticas de oposiciones

Un depósito cilíndrico de altura ℎ y radio 𝑅, donde 𝑅 <ℎ <2𝑅, está lleno de agua. Se introduce en dicho depósito una esfera de radio 𝑟 más densa que el agua.

1. Obtener la función de 𝑟 que expresa el volumen de agua que se derrama.
2. Estudiar la continuidad de la función.
3. Esbozar la gráfica de dicha función estudiando su crecimiento, puntos singulares y asíntotas.
4. Determinar, si existe, el valor de 𝑟 para el que es máximo el volumen de agua derramada.

Se considera la familia de elipses 𝑥2𝑎2 +𝑦2𝑏2 =1 que pasan por (1,1).

1. Determinar la elipse de la familia que encierra una región de área mínima.
2. Hallar la elipse de la familia que genera un volumen mínimo al girar alrededor del eje de abscisas.

Seis bolas de seis colores diferentes se colocan al azar en tres urnas 𝑈1, 𝑈2 y 𝑈3.

1. Calcular la probabilidad de que la urna 𝑈3 esté vacía.
2. Calcular la probabilidad de que vayan tantas bolas a cada urna como el número de orden de la urna.
3. Calcular la probabilidad de que todas las urnas estén ocupadas.

Se traza una recta 𝑟 por el baricentro de un triángulo equilátero (en el mismo plano que este). Demostrar que la suma de los cuadrados de las distancias de los tres vértices del triángulo a la recta 𝑟 no depende de la elección de esta.

Sea 𝑝 un número primo. Demostrar que 𝑛𝑝 ≡𝑛 (mod 𝑝) para todo 𝑛 ∈ℕ.

Demostrar que para todo número natural 𝑛 ≥1 se cumple que 4𝑛+1 +52𝑛−1 es múltiplo de 21.

Sea 𝑛 un número entero positivo.

1. Demostrar que el número 3𝑛 −2𝑛2 −1 es múltiplo de 8.
2. Probar que si 𝑛 no es múltiplo de 3, entonces 3𝑛 −2𝑛2 −1 es múltiplo de 24.

Tenemos un segmento 𝐴𝐵 de longitud 16. Hallar el lugar geométrico de los baricentros de los triángulos de base 𝐴𝐵 y perímetro 36.

Se tiene el triángulo 𝐴𝐵𝐶 en el que ∠𝐵𝐴𝐶 =70∘ y ∠𝐶𝐵𝐴 =60∘, y el triángulo 𝐴′𝐵′𝐶′, donde 𝐴′, 𝐵′ y 𝐶′ son los pies de las alturas del triángulo desde 𝐴, 𝐵 y 𝐶, respectivamente (triángulo órtico). Las alturas del triángulo 𝐴𝐵𝐶 son las bisectrices del triángulo 𝐴′𝐵′𝐶′. Haciendo uso de esta propiedad, determinar los ángulos del triángulo 𝐴′𝐵′𝐶′.

Dadas las funciones 𝑦=1𝑥2+3,8𝑥𝑦−𝑥+1=0

1. Dibujar sus representaciones gráficas a partir de los cálculos matemáticos oportunos.
2. Determinar el área limitada por las dos curvas y los semiejes de coordenadas positivas.

Dos jugadores 𝐴 y 𝐵 tiran simultáneamente un dado cada uno. Gana el primero que obtenga 6. Calcule:

1. La probabilidad de que 𝐴 y 𝐵 empaten.
2. La probabilidad de que gane 𝐴.
3. La probabilidad de que gane 𝐵.

Calcule ∫∞0𝑥−⌊𝑥⌋2⌊𝑥⌋𝑑𝑥 donde ⌊𝑥⌋ es la parte entera de 𝑥.

Tenemos un cubo y pintamos al azar tres caras de color rojo y tres caras de color amarillo.

1. Calcule la probabilidad de que las tres caras de color rojo tengan un vértice en común.
2. Calcule la probabilidad de que una de las tres caras de color rojo tenga una arista en común con las otras dos caras rojas.
3. Tenemos ahora ocho cubos del mismo tamaño, cada uno pintado al azar con tres caras de color rojo y tres de color amarillo. Los colocamos aleatoriamente para que formen un cubo mayor. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las caras exteriores de este cubo sean del mismo color?