Matemáticas de oposiciones

Halle el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas de la elipse 𝑏2𝑥2 +𝑎2𝑦2 −𝑎2𝑏2 que se ven desde el origen bajo un ángulo recto.

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Escriba todos los divisores naturales de 1001.
2. Si 𝑁 =𝑎0 +𝑎1𝑡 +𝑎2𝑡2 +⋯ +𝑎𝑛𝑡𝑛 y 𝑆 =𝑎0 −𝑎1 +𝑎2 −⋯ +( −1)𝑛𝑎𝑛, donde 𝑡 =1000, y cada coeficiente 𝑎𝑖 es un número entero, demuestre que 𝑁 y 𝑆 son congruentes módulo 1001.
3. Deduzca de lo anterior un criterio de divisibilidad por 7, 11 o 13 y aplíquelo al número 186236745823691615.

Se sabe que cierta elección entre dos candidatos 𝐴 y 𝐵 ha terminado con el resultado de 𝑎 votos a favor de 𝐴 y 𝑏 votos a favor de 𝐵, con 𝑎 >𝑏.

1. Calcule la probabilidad de que, durante el escrutinio de los votos, el candidato 𝐴 haya ido siempre por delante.
2. Calcule la probabilidad de que, a lo largo del escrutinio, la diferencia de votos a favor de 𝐴 no haya sido mayor que 𝑎 −𝑏.

Como aplicación de la integral definida, obtenga el volumen de un sólido cuya base es el círculo de inecuación: 𝑥2+𝑦2−4𝑥≤0 en cierta referencia rectangular del espacio euclídeo, sabiendo que cuando a dicho sólido se le producen secciones perpendiculares al eje 𝑂𝑋, se obtienen triángulos cuya altura es el cuadrado de la distancia de cada sección al origen de coordenadas.