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📋 Examen de 2025 de Madrid

Problema 1

En el espacio vectorial ℝ3, se consideran los siguientes conjuntos: 𝑈1={(𝑥,𝑦,𝑧)∈ℝ3:𝑥+𝑦+𝑧=0}𝑈2={(𝑡,2𝑡,3𝑡)∈ℝ3:𝑡∈ℝ}. Se pide:

  1. Probar que son subespacios vectoriales de ℝ3.
  2. Hallar una base de 𝑈1, de 𝑈2 y de 𝑈1 ∩𝑈2.

Problema 2

Responder razonadamente a las siguientes cuestiones:

  1. Justificar si son correctas o no las siguientes afirmaciones sobre el conjunto: 𝐶={(𝑥,𝑦)∈ℝ2:0<𝑥<1} de ℝ2.
    • Es conexo y abierto.
    • Es conexo y compacto.
    • Es compacto y abierto.
  2. Demostrar que toda matriz compleja cuadrada de orden 2 es semejante a una matriz de una de las tres formas siguientes: (𝜆00𝜇),(𝜆00𝜆),(𝜆01𝜆), con 𝜆,𝜇 ∈ℂ.

Problema 3

Hállese la integral de línea para la forma diferencial siguiente: 2𝑥𝑦𝑑𝑥+𝑥2𝑑𝑦 a lo largo de los caminos:

  1. El camino 𝐶1 que está sobre la recta 𝑦 =𝑥, uniendo el punto 𝐴(0,0) con el punto 𝐵(1,1).
  2. El camino 𝐶2 que está sobre la parábola 𝑦 =𝑥2, uniendo el punto 𝐴(0,0) con el punto 𝐵(1,1).
Interprétese el resultado obtenido.

Problema 4

Encuentre un polinomio de tercer grado que tome los valores que a continuación se señalan:

𝑥𝑘 0 1 2 4
𝑦𝑘 1 1 2 5
y represéntelo como una función en los ejes cartesianos.