Matemáticas de oposiciones

Halle todos los polinomios 𝑃(𝑥) ∈ℝ[𝑥] tales que 𝑃(𝑥)−𝑃(𝑥−1)=𝑥2,𝑃(0)=0 y deduzca de ello el valor de la suma 𝑛∑𝑘=1𝑘2.

A partir de un triángulo cualquiera 𝑀𝑁𝑃, y alargando sus lados, se construye un nuevo triángulo 𝐴𝐵𝐶 de tal forma que los puntos 𝑀, 𝑁 y 𝑃 son, respectivamente, los puntos medios de los segmentos 𝐴𝑁, 𝐵𝑃 y 𝐶𝑀. Calcule la relación entre las áreas de los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝑀𝑁𝑃.

En una bolsa se desean introducir bolas blancas y negras. Se lanza una moneda al aire cinco veces y se introducen en la bolsa tantas bolas blancas como caras se obtengan, y tantas bolas negras como cruces salgan. Si se extrae una bola y resulta ser negra, ¿cuál es la probabilidad de que en la bolsa hubiera tres bolas blancas y dos negras antes de la extracción?

Se dice que un número natural es perfecto cuando es igual a la suma de todos sus divisores positivos, excluido él mismo. Demuestre que, siendo 𝑝 ∈ℕ, el número 2𝑝−1(2𝑝 −1) es perfecto siempre que 2𝑝 −1 sea primo.

Sean 𝑚,𝑛 ∈ℕ. Determine todas las curvas decrecientes contenidas en el primer cuadrante y tales que para cada punto 𝑃 de la curva, la recta tangente a dicha curva en 𝑃 corta a los ejes 𝑂𝑋 y 𝑂𝑌 en dos puntos 𝐴 y 𝐵 tales que la proporción entre las longitudes 𝑃𝐵 y 𝑃𝐴 sea 𝑚𝑛. ¿Qué tipo de curvas se obtienen en el caso 𝑚 =𝑛?