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📋 Examen de 2018 de Cantabria

Problema 1

Se tiene una pirámide regular de base un triángulo equilátero y cuyas caras son triángulos isósceles iguales. Si abatimos las caras laterales sobre el plano de la base se forma una estrella de tres puntas que quedará inscrita dentro de un círculo de radio 10 cm. Determinar las longitudes de las aristas de la base y de las caras laterales que hacen máximo el volumen de la pirámide

Problema 2

Demuestre que para todo número real 𝑥 se cumple la desigualdad cos(sen𝑥)>sen(cos𝑥).

Problema 3

Los afijos de los números complejos 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3, 𝑧4, 𝑧5 y 𝑧6 son vértices consecutivos de un hexágono regular. Sabiendo que 𝑧1 =0 y 𝑧4 =4 +6𝑖, donde 𝑖 =1, hallar 𝑧2, 𝑧3, 𝑧5 y 𝑧6.

Problema 4

Una urna contiene una bola blanca y una bola negra. Una persona extrae, con reemplazamiento, dos bolas, y ganará una cierta cantidad 𝐶 si saca dos veces bola blanca. En caso contrario, se introduce una nueva bola negra en la urna y se le permite hacer dos nuevas extracciones. Ganará si, como antes, saca dos veces la bola blanca. Si esto no ocurre, se le vuelve a permitir sacar otras dos bolas de la urna en la que se ha introducido otra bola negra y, así, indefinidamente. ¿Cuál es la probabilidad de que esa persona gane la cantidad 𝐶 (supuesto que viva eternamente)?

Problema 5

Sean 𝑟 y 𝑠 dos rectas del plano afín ordinario que se cortan en un punto 𝑂. Tenemos tres puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 en la recta 𝑟 y tres puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 en la recta 𝑠. Las rectas 𝐶𝐵 y 𝐵𝐶 se cortan en un punto 𝑀, las rectas 𝐶𝐴 y 𝐴𝐶 se cortan en un punto 𝑁, y las rectas 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴 se cortan en un punto 𝑃. Demostrar que 𝑀, 𝑁 y 𝑃 están alineados.

Problema 6

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones, que son independientes entre sí:

  1. En una batalla en la que participaron entre 8.000 y 10.000 soldados resultaron muertos 23165 del total y heridos 1665 del total. Calcule cuántos resultaron ilesos.
  2. Halle el número 2𝑛 3𝑚 sabiendo que la suma de todos sus divisores es igual a 363.

Resolución
  1. Sea 𝑛 el número de soldados, con 8.000 𝑛 10.000.
    • 23165𝑛 soldados resultaron muertos, así que 23165𝑛 . Luego 𝑛 es múltiplo de 165.
    • 1665𝑛 soldados resultaron heridos, así que 1665𝑛 . Luego 𝑛 es múltiplo de 65.
    Hallamos el mínimo común múltiplo de 165 y 65. {165=3511,65=513mcm(165,65)=351113=2.145. Así que 𝑛 es múltiplo de 2.145. Sus primeros múltiplos son: 2.145,4.290,6.435,8.580,10.725. Como 8.000 𝑛 10.000, necesariamente 𝑛 =8.580. Calculamos el número de soldados muertos y heridos.
    • Resultaron muertos 23165 8.580 =1.196 soldados.
    • Resultaron heridos 1665 8.580 =2.112 soldados.
    Por tanto, resultaron ilesos: 8.5801.1962.112=5.272.
  2. Sea 𝑁 =2𝑛 3𝑚. Los divisores de 𝑁 son de la forma 2𝑟 3𝑠, con 0 𝑟 𝑛 y 0 𝑠 𝑚. La suma de todos los divisores viene dada por: 0𝑟𝑛0𝑠𝑚2𝑟3𝑠=𝑚𝑠=0𝑛𝑟=02𝑟3𝑠=(𝑛𝑟=02𝑟)(𝑚𝑠=03𝑠)=(2𝑛+11)3𝑚+112=12(2𝑛+11)(3𝑚+11). La suma los divisores es 363, así que: 0𝑟𝑛0𝑠𝑚2𝑟3𝑠=36312(2𝑛+11)(3𝑚+11)=363(2𝑛+11)(3𝑚+11)=726=23112=3242{2𝑛+11=32𝑛+1=4𝑛+1=2𝑛=1,3𝑚+11=2423𝑚+1=243𝑚+1=5𝑚=4. Por tanto, 𝑁 =2 34 =162.

Problema 7

Una recta en el plano se mueve de forma que el segmento determinado por sus puntos de corte con los ejes coordenados mantiene una longitud constante 𝐿.

  1. Determine unas ecuaciones paramétricas del lugar geométrico descrito por el pie de la perpendicular a dicho segmento trazada desde el origen de coordenadas.
  2. Halle una ecuación implícita de dicho lugar geométrico.

Problema 8

Sea 𝑓 : una función continua que para todo 𝑥,𝑦 cumple 𝑓(𝑥 +𝑦) =𝑓(𝑥) +𝑓(𝑦). Demuestre que existe 𝑎 tal que 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 para todo 𝑥 .

Problema 9

Consideremos la parte superior (𝑦 0) de las circunferencias 𝑥2+𝑦2=𝑅2,𝑥2+𝑦2𝑅𝑥=0,𝑥2+𝑦2+𝑅𝑥=0.

  1. Determine el radio 𝑟 del círculo inscrito en la región encerrada entre los tres semicículos y que es tangente a los mismos.
  2. Calcule las longitudes de los lados del triángulo cuyos vértices son los puntos de tangencia.

Problema 10

Se dispone de dos monedas 𝐴 y 𝐵 cuyas probabilidades respectivas de caer de cara son 𝛼 y 𝛽. Se efectúan lanzamientos de acuerdo con el siguiente sistema: para el primer lanzamiento se escoge al azar (probabilidad 12) una de las dos monedas. En los lanzamientos sucesivos se utiliza la misma moneda que en el lanzamiento anterior si ésta ha caído de cara o, en caso contrario, se cambia de moneda. Halle las probabilidades 𝜆𝑛 y 𝜇𝑛, respectivamente, de utilizar la moneda 𝐴 en el 𝑛-ésimo lanzamiento y de obtener cara en el 𝑛-ésimo lanzamiento. Estudiar el comportamiento de 𝜆𝑛 y 𝜇𝑛 cuando 𝑛 .

Problema 11

Si 𝜉1, 𝜉2, 𝜉3, 𝜉4 y 𝜉5 son las raíces quintas de la unidad y 𝑛 , estudie qué valores toma la suma 𝑆=𝜉𝑛1+𝜉𝑛2+𝜉𝑛3+𝜉𝑛4+𝜉𝑛5.

Problema 12

Determine el área de la región del primer cuadrante del plano limitada por la gráfica de la curva 𝑦 =𝑒𝑥sen𝑥 y el eje 𝑂𝑋.

Resolución

En primer lugar, hallamos una primitiva de la función. 𝑒𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥sen(𝑥)+𝑒𝑥cos(𝑥)𝑑𝑥=𝑒𝑥sen(𝑥)𝑒𝑥cos(𝑥)𝑒𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥𝑒𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥=12𝑒𝑥(sen(𝑥)+cos(𝑥)).

Por otro lado, observamos que: 𝑒𝑥sen(𝑥)0sen(𝑥)0𝑥[2𝑘𝜋,(2𝑘+1)𝜋],𝑘. Así que el área de la región viene dada por: 𝑘=0(2𝑘+1)𝜋2𝑘𝜋𝑒𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥.

Calculamos estas integrales. Sea 𝑘 0, entonces: (2𝑘+1)𝜋2𝑘𝜋𝑒𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥=12[𝑒𝑥(sen(𝑥)+cos(𝑥))](2𝑘+1)𝜋2𝑘𝜋=12(𝑒(2𝑘+1)𝜋𝑒2𝑘𝜋)==12(𝑒(2𝑘+1)𝜋+𝑒2𝑘𝜋)=12𝑒2𝑘𝜋(𝑒𝜋+1).

Por tanto, el área es: 𝑘=0(2𝑘+1)𝜋2𝑘𝜋𝑒𝑥sen(𝑥)𝑑𝑥=12(𝑒𝜋+1)𝑘=0𝑒2𝑘𝜋=12(𝑒𝜋+1)11𝑒2𝜋=1+𝑒𝜋2(1𝑒2𝜋)𝑢2.