Matemáticas de oposiciones

Calcule una y solo una de las siguientes integrales: 𝐼1=∫10(1−𝑥2)𝑛𝑑𝑥,𝐼2=∫𝑑𝑥3cos⁡𝑥−4sen⁡𝑥,𝐼3=∫+∞0𝑒−𝑥2𝑑𝑥,𝐼4=∫√𝑥2−2𝑥(𝑥−1)3𝑑𝑥.

Estando en Estados Unidos, el Sr. Martínez cambió un cheque de viaje. El cajero, al pagarle, confundió el número de dólares con el de centavos y viceversa. El Sr. Martínez gastó 68 centavos en sellos y comprobó que el dinero que le quedaba era el doble del cheque de viaje que había cambiado. ¿Qué valor mínimo tenía el cheque?

Un tanque cilíndrico de radio 𝑅 y altura ℎ, sin tapa superior, se encuentra lleno de agua hasta un nivel 𝑎, donde 𝑎 ≤ℎ. Se elige al azar un punto cualquiera sobre la superficie del cilindro, incluyendo el fondo, y allí se hace una perforación. Halle el valor esperado del volumen de agua en el tanque después de realizar la perforación y haberse vaciado el agua hasta el punto de perforación.

Halle el lugar geométrico de los centros de los triángulos equiláteros inscritos en una elipse.