Exámenes

📋 Examen de 2018 de País Vasco

Problema 1

Análisis

Sea $𝑅$ la región del plano definida por la parte positiva de los ejes de coordenadas y la curva $𝑦 = 2 c o s (𝑥)$ para $0 \leq 𝑥 \leq 𝜋 2 .$ Halle el valor del parámetro $𝑎$ para que la curva $𝑦 = 𝑎 s e n (𝑥)$ divida la región $𝑅$ en dos partes de igual área.

Resolución

Hallamos el punto de corte de las dos curvas en el intervalo $(0, 𝜋 2) .$ $2 c o s (𝑥) = 𝑎 s e n (𝑥) \Leftrightarrow t g (𝑥) = 2 𝑎 \Leftrightarrow 𝑥 = a r c t g (2 𝑎) .$

Realizamos un esbozo de las dos curvas. Figura

Llamamos $𝐴 1$ al área de la región superior, $𝐴 2$ al de la región inferior y $𝐴$ al de la región completa, con $𝐴 = 𝐴 1 + 𝐴 2 .$ Ha de verificarse que $𝐴 1 = 𝐴 2$ o, equivalentemente, $𝐴 1 = 𝐴 2 .$ Hallamos estas áreas. $𝐴 = \int 𝜋 2 0 2 c o s (𝑥) 𝑑 𝑥 = 2 [s e n (𝑥)] 𝜋 2 0 = 2 𝑢 2, 𝐴 1 = \int a r c t g (2 𝑎) 0 (2 c o s (𝑥) - 𝑎 s e n (𝑥)) 𝑑 𝑥 = [2 s e n (𝑥) + 𝑎 c o s (𝑥)] a r c t g (2 𝑎) 0 = = 2 s e n (a r c t g (2 𝑎)) + 𝑎 c o s (a r c t g (2 𝑎)) - 𝑎$

Sea $𝛼 = a r c t g (2 𝑎) .$ Entonces: $t g (𝛼) = 2 𝑎 \Rightarrow ⎧ { { {⎨ { { {⎩ s e n (𝛼) = 2 \sqrt 4 + 𝑎 2, c o s (𝛼) = 𝑎 \sqrt 4 + 𝑎 2 .$ Luego: $𝐴 1 = 2 s e n (𝛼) + 𝑎 c o s (𝛼) - 𝑎 = 4 \sqrt 4 + 𝑎 2 + 𝑎 2 \sqrt 4 + 𝑎 2 - 𝑎 = 4 + 𝑎 2 \sqrt 4 + 𝑎 2 - 𝑎 = \sqrt 4 + 𝑎 2 - 𝑎 .$

Por tanto, $𝐴 1 = 𝐴 2 \Leftrightarrow 𝐴 1 = 𝐴 2 \Leftrightarrow \sqrt 4 + 𝑎 2 - 𝑎 = 1 \Leftrightarrow 4 + 𝑎 2 = 𝑎 2 + 2 𝑎 + 1 \Leftrightarrow 2 𝑎 = 3 \Leftrightarrow 𝑎 = 32 .$

Problema 2

Álgebra

Sea $𝑝$ un número primo. Determine todos los enteros $𝑘 \in ℤ$ tales que $\sqrt 𝑘 2 - 𝑘 𝑝$ sea un número entero no negativo.

Problema 3

Álgebra

Para cada número natural $𝑛$ se define $𝐴 𝑛 = 2 𝑛 + 2 2 𝑛 + 2 3 𝑛 .$

Demuestre que $𝐴 𝑛 + 3$ es congruente con $𝐴 𝑛$ módulo $7$ para cada número natural $𝑛 .$
Encuentre para qué valores de $𝑛$ se cumple que $𝐴 𝑛$ es divisible por $7 .$ (Utilice el resultado anterior).

Resolución

En primer lugar, desarrollamos la expresión de $𝐴 𝑛 + 3 .$ $𝐴 𝑛 + 3 = 2 𝑛 + 3 + 2 2 𝑛 + 6 + 2 3 𝑛 + 9 = 2 𝑛 \cdot 23 + 2 2 𝑛 \cdot 26 + 2 3 𝑛 \cdot 29 = 8 \cdot 2 𝑛 + 64 \cdot 2 2 𝑛 + 512 \cdot 2 3 𝑛 .$ Observamos que: $8 \equiv 1 (m o d 7), 64 \equiv 1 (m o d 7), 512 \equiv 1 (m o d 7) .$ Por tanto, $𝐴 𝑛 + 3 = 8 \cdot 2 𝑛 + 64 \cdot 2 2 𝑛 + 512 \cdot 2 3 𝑛 \equiv 2 𝑛 + 2 2 𝑛 + 2 3 𝑛 = 𝐴 𝑛 (m o d 7) .$
$A_n$ es divisible por 7 si y solo si: $A_n \equiv 0 \, (\mod 7) \Leftrightarrow A_{n+3} \equiv 0 \, (\mod 7).$ Luego, si $A_k$ es divisible por 7 para algún $k \in \mathbb{N}$ , entonces $A_{k + 3r}$ es también divisible por 7 para todo $r \in \mathbb{N}.$ Estudiamos la divisibilidad de los primeros términos.
- $𝐴 1 = 2 + 4 + 8 = 14$ es divisible por 7, así que $𝐴 1 + 3 𝑘$ es divisible por 7 para todo $𝑘 \in ℕ \cup {0} .$
- $𝐴 2 = 4 + 16 + 64 = 84$ es divisible por 7, así que $𝐴 2 + 3 𝑘$ es divisible por 7 para todo $𝑘 \in ℕ \cup {0} .$
- $𝐴 3 = 8 + 64 + 512 = 584$ no es divisible por 7, así que $𝐴 3 𝑘$ no es divisible por 7 para ningún $𝑘 \in ℕ .$
Por tanto, $A_n$ es divisible por 7 si y solo si $n$ no es múltiplo de 3.

Problema 4

Geometría

Las alturas de un triángulo acutángulo $△ 𝐴 𝐵 𝐶$ se cortan en el ortocentro $𝐻 .$ Se sabe que $𝐴 𝐵 = 𝐶 𝐻 .$ Determine el valor del ángulo $∠ 𝐴 𝐶 𝐵 .$

Problema 5

Probabilidad

¿Cuál es la probabilidad de que un punto elegido al azar cumpliendo las siguientes restricciones: $⎧ { { {⎨ { { {⎩ - 𝑥 + 𝑦 < 3, 3 𝑥 + 𝑦 > 3, 𝑦 < 4 𝑥, 2 𝑥 - 𝑦 < 7$ tenga las dos coordenadas positivas? ¿Y de que las dos coordenadas sean números enteros?

Resolución

Representamos la región factible. Figura

Hallamos el área de esta región. $𝑆 Ω = \int 10 (𝑥 + 3 - (- 3 𝑥 + 3)) 𝑑 𝑥 + \int 21 (4 𝑥 - (- 3 𝑥 + 3)) 𝑑 𝑥 + \int 42 (4 𝑥 - (2 𝑥 - 7)) 𝑑 𝑥 = = \int 10 4 𝑥 𝑑 𝑥 + \int 21 (4 𝑥 + 3 𝑥 - 3) 𝑑 𝑥 + \int 42 (4 𝑥 - 2 𝑥 + 7) 𝑑 𝑥 = = [2 𝑥 2] 10 + [4 l n (𝑥) + 32 𝑥 2 - 3 𝑥] 21 + [4 l n (𝑥) - 𝑥 2 + 7 𝑥] 42 = = 2 + 4 l n (2) + 6 - 6 - 32 + 3 + 4 l n (4) - 16 + 28 - 4 l n (2) + 4 - 14 = 4 l n (4) + 112 𝑢 2 .$

La superficie en la que esta región tiene las dos coordenadas positivas se puede obtener quitándole el triángulo inferior, de área: $𝑆 𝑇 = 52 \cdot 3 2 = 154 𝑢 2 .$ Luego el área de la región factible es: $𝑆 𝐹 = 𝑆 Ω - 154 = 4 l n (4) + 112 - 154 = 4 l n (4) + 74 𝑢 2 .$ Por tanto, la probabilidad de que un punto tenga las dos coordenadas positivas es: $𝑝 = 𝑆 𝐹 𝑆 Ω = 4 l n (4) + 74 4 l n (4) + 112 \approx 0, 6605 .$
La superficie en la que esta región tiene las dos coordenadas enteras es nula, así que la probabilidad de que las dos coordenadas de un punto sean números enteros es 0.

Problema 6

Quieres celebrar el día de Pi (14 de marzo) con tu alumnado de la ESO, y para ello recurres a la aguja de Buffon. La aguja de Buffon es un clásico problema planteado por el matemático y naturalista Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, en 1773. En una hoja se dibujan líneas paralelas de modo que la distancia entre dos consecutivas sea mayor que la longitud de una aguja dada. Sobre esta hoja se deja caer un número de agujas y se anota cuántas de ellas cortan alguna de las líneas paralelas dibujadas. Si se multiplica por 2 el número de agujas lanzadas y se divide por el número de las que cortan alguna de esas paralelas, se obtiene un valor aproximado del número $𝜋 .$ Dejando aparte su demostración matemática, planteamos un pequeño proyecto en el aula para este día tomando como hilo conductor este problema. Responde de forma concisa y ordenada lo siguiente:

¿En qué nivel plantearías este proyecto y cómo lo relacionarías con el currículo de matemáticas de ese nivel?
Propón tres objetivos relacionados con este proyecto.
Propón tres actividades con una metodología colaborativa.
¿Cuál sería el producto final que tendría que elaborar el alumno?
Propón tres indicadores de evaluación relacionados con uno de los objetivos planteados anteriormente.
A lo largo del proyecto, dos alumnos/as han empezado a discutir y se han agredido gravemente. Indica dos actuaciones a seguir.

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Problema 1

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Problema 5

Problema 6

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