Matemáticas de oposiciones

Una variable aleatoria 𝑋 sigue una distribución normal 𝑁(𝜇,𝜎). Si se toma una muestra de tamaño 𝑛 y se consideran la media muestral ¯𝑥 y el estimador de la desviación típica 𝑠, ¿cuál es la distribución muestral?

1. 𝑁(𝜇,𝜎).
2. 𝑁(¯𝑥,𝑠).
3. 𝑡-Student con 𝑛 −1 grados de libertad.

Sean 𝑋 e 𝑌 dos variables estadísticas incorreladas. Estudie la correlación lineal entre las variables estadísticas 𝑋 +𝑌 y 𝑋 −𝑌.

Dada la función de densidad 𝑓 :ℝ →ℝ que se anula en el intervalo ( −∞,0] y para cada 𝑥 >0 vale 𝑓(𝑥)=2𝑥𝜃2𝑒−(𝑥2𝜃2), y una muestra aleatoria simple {𝑥1,…,𝑥𝑛} de 𝑥, calcule el estimador 𝜃 por el método de máxima verosimilitud.