Matemáticas de oposiciones

Se considera la familia T de subconjuntos de ℝ definida así: 𝐴∈T si y solo si 𝐴=∅ o bien ℝ∖𝐴 es un conjunto finito.

1. Demuestre que T es una topología.
2. Estudie la convergencia de la sucesión {1𝑛} en el espacio (ℝ,T).
3. ¿Es Hausdorff el espacio (ℝ,T)? ¿Es un espacio 𝑇1?

Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones continuas de ℝ en ℝ con la topología usual. Pruebe que el conjunto 𝐴={𝑥∈ℝ:𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)} es cerrado para dicha topología.