Matemáticas de oposiciones

Sea 𝛼 =20042005. Demostrar que, para cualquier número entero positivo 𝑛, se cumple la siguiente desigualdad: 12005[√1−(1−𝛼)2+𝛼√1−(1−𝛼2)2+⋯+𝛼𝑛−1√1−(1−𝛼𝑛)2]<𝜋4.

Sea 𝐴𝐵𝐶 un triángulo rectángulo en 𝐴. Sea 𝐷 el pie de la perpendicular de 𝐴 a 𝐵𝐶, y sean 𝐸 y 𝐹 las intersecciones de la bisectriz de ∠𝐴𝐵𝐶 con 𝐴𝐷 y 𝐴𝐶, respectivamente. Probar que:

1. El triángulo 𝐴𝐸𝐹 es isósceles.
2. 𝐷𝐶 >2𝐸𝐹.

Dados los números reales 𝑢 =1 +√2 y 𝑣 =1 −√2, se construyen las sucesiones {𝑎𝑛} y {𝑏𝑛} tales que, para cada 𝑛 =1,2,3,…, cumplen: {𝑎𝑛+𝑏𝑛√2=𝑢𝑛,𝑎𝑛−𝑏𝑛√2=𝑣𝑛.

1. 1. Demostrar que las sucesiones {𝑎𝑛} y {𝑏𝑛} son crecientes.
   2. Demostrar que 𝑎𝑛𝑏𝑛 es una fracción irreducible para cada 𝑛 =1,2,…
   3. Hallar lím𝑛→∞⁡(𝑎𝑛𝑏𝑛).
2. 1. Calcular las siguientes sumas: 𝑆𝑛=𝑢+𝑢2+𝑢3+⋯+𝑢𝑛,𝑆′𝑛=𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛,𝑆″𝑛=𝑏1+𝑏2+𝑏3+⋯+𝑏𝑛.
   2. Hallar lím𝑛→∞⁡(𝑆′𝑛𝑆″𝑛).
3. 1. Demostrar que existen dos números fijos 𝛼 y 𝛽 tales que: 𝑎𝑛+2=𝛼𝑎𝑛+1+𝛽𝑎𝑛,𝑏𝑛+2=𝛼𝑏𝑛+1+𝛽𝑏𝑛 y determinar dichos números 𝛼 y 𝛽.
   2. Calcular las raíces de la ecuación 𝑥2 =𝛼𝑥 +𝛽 y explicar el resultado.

Una línea de autobuses tiene longitud 𝑙. La probabilidad de que un pasajero suba al autobús en las proximidades del punto 𝑥 es proporcional a 𝑥(𝑙 −𝑥)2, y la probabilidad de que un pasajero que subió en el punto 𝑥 baje en el punto 𝑦 es proporcional a (𝑦 −𝑥)𝑟, siendo 𝑟 >0. Calcular:

1. Las constantes de proporcionalidad de ambas probabilidades.
2. La probabilidad de que un pasajero no suba al autobús antes del punto 𝑧 del recorrido.
3. La probabilidad de que un pasajero que subió en el punto 𝑥 descienda después del punto 𝑧 del recorrido del autobús.