Matemáticas de oposiciones

Sea 𝑀 el punto medio de una cuerda 𝑃𝑄 de una circunferencia. Por 𝑀 se trazan otras dos cuerdas 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷. La cuerda 𝐴𝐷 corta a la cuerda 𝑃𝑄 en un punto 𝑋 y la cuerda 𝐵𝐶 corta a la cuerda 𝑃𝑄 en un punto 𝑌. Demuestre que 𝑀 es también el punto medio del segmento 𝑋𝑌.

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Represente gráficamente la función real de variable real definida por 𝑓(𝑥)=𝑥ln⁡(𝑥)
2. Determine, según los valores de 𝑘, el número de soluciones de la ecuación 𝑥−𝑘ln⁡(𝑥)=0.
3. Estudie si la sucesión de números reales {𝑎𝑛} definida por la recurrencia 𝑎1=𝑒1/2,𝑎𝑛+1=𝑎𝑛ln⁡(𝑎𝑛),para 𝑛≥1, es convergente y, en caso afirmativo, calcule su límite.

Sea 𝑓 :ℝ →ℝ una función derivable en ℝ, dos veces derivable en el origen y tal que 𝑓(0) =0. Sea 𝐹 :ℝ →ℝ la función tal que 𝐹(0)=𝑓′(0),𝐹(𝑥)=1𝑥∫𝑥0𝑓(𝑡)𝑡𝑑𝑡para 𝑥≠0.

1. Estudie la derivabilidad de 𝐹.
2. ¿Es 𝐹 de clase 𝐶1 en ℝ?

El centro de una plaza de una ciudad es un espacio peatonal con forma de triángulo isósceles. El lado desigual de dicho triángulo y la altura sobre dicho lado miden lo mismo: 𝑎 metros. Un peatón atraviesa dicho triángulo en línea recta, entrando por un punto del lado desigual y saliendo por un punto de alguno de los dos lados iguales. Si tanto el punto de entrada en el triángulo como la dirección del camino que sigue son aleatorios e independientes, ¿cuál es la probabilidad de que recorra una distancia mayor que 𝑎 metros dentro del triángulo?