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📋 Examen de 2014 de Madrid

Problema 1

Un segmento rectilíneo 𝐴𝐵 de longitud 𝐿 se apoya sobre los semiejes coordenados positivos.

  1. Determine el lugar geométrico de los puntos desde los que se ve el segmento 𝐴𝐵 bajo un ángulo de 30 cuando dicho segmento forma un triángulo isósceles en el primer cuadrante.
  2. Si son 𝐴(1,0) y 𝐵(0,1), determine el lugar geométrico de los centros de las hipérbolas equiláteras que pasan por 𝐴, por 𝐵 y por el origen de coordenadas.

Problema 2

Calcule los productos siguientes, en los que 𝑛 , 𝑛 >1:

  1. 𝑛1𝑘=1(𝑒2𝑘𝜋𝑖/𝑛1).
  2. 𝑛1𝑘=1sen(𝑘𝜋𝑛).

Problema 3

Calcule el área encerrada en el bucle del folium de Descartes, cuya ecuación implícita es 𝑥3+𝑦33𝑥𝑦=0.

Problema 4

Una varilla cilíndrica de longitud 𝑑 >0 y radio despreciable cae sobre una malla bidimensional ilimitada formada por hilos paralelos separados por una distancia 𝑎 >0 en una dirección, y por una distancia 𝑏 >0 en la dirección perpendicular. El espesor de los hilos de la malla se considera también despreciable.

  1. Determine la probabilidad 𝑝𝑎𝑏 de que la varilla caiga en una posición en la que no toque a ningún hilo de los que forman la malla, suponiendo que son 𝑑 <𝑎 y 𝑑 <𝑏.
  2. Si de la malla se eliminan todos los hilos paralelos que estaban separados 𝑏 unidades, ¿cuál es entonces la probabilidad 𝑝𝑎 de que la varilla no toque a ninguno de los hilos que quedan, supuesto que es 𝑑 <𝑎?
  3. ¿Cuál es la probabilidad 𝑝𝑎 en el caso de que la longitud de la varilla sea mayor que el espaciamiento entre los hilos de la malla, esto es, si 𝑑 >𝑎?