Matemáticas de oposiciones

Dados los números 𝑎,𝑏 ∈ℝ, se considera la serie de números complejos: ∞∑𝑛=0𝑒𝑛(𝑎+𝑏𝑖).

1. Estudie la convergencia de la serie para los distintos valores de 𝑎 y 𝑏.
2. ¿Existe algún valor real de 𝑎 para el que la suma de la serie sea un número imaginario puro?
3. Calcule los valores reales de 𝑏 para los que se cumple la igualdad: 12cos⁡(𝑏)+14cos⁡(2𝑏)+18cos⁡(3𝑏)+⋯=0.

Sea {𝑥𝑛} la sucesión de números reales dada recursivamente por 𝑥𝑛+1=𝑥3𝑛+67,𝑛∈ℕ a partir de 𝑥1 =𝑎 (𝑎 ∈ℝ). Estudie la convergencia de la sucesión {𝑥𝑛} según los valores de 𝑎 y calcule su límite cuando exista.

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

1. Dado un triángulo rectángulo de catetos 𝑎 y 𝑏 e hipotenusa 𝑐, exprese la longitud del radio 𝑟 de la circunferencia inscrita en el triángulo en función de 𝑎, 𝑏 y 𝑐.
2. Un cuadrado de papel 𝐴𝐵𝐶𝐷 se dobla según el segmento 𝑃𝑄, donde 𝑃 es un punto del lado 𝐴𝐵 y 𝑄 es un punto del lado 𝐶𝐷, hasta que el vértice 𝐴 coincide con un punto 𝑅 del lado 𝐵𝐶, formándose así tres triángulos rectángulos 𝑃𝐵𝑅, 𝑅𝐶𝑆 y 𝑄𝑇𝑆 de una sola capa de papel. Demuestre que el cateto 𝑆𝑇 del triángulo 𝑄𝑇𝑆 mide lo mismo que el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo 𝑅𝐶𝑆.

De un depósito que contiene un fluido viscoso se desprenden gotas que supondremos esféricas. El radio de una gota es una variable 𝑋 medida en milímetros de tamaño mínimo 𝜌, siendo 𝜌 >1, cuya probabilidad de desprenderse es inversamente proporcional a su volumen.

1. Calcule 𝜌 sabiendo para que la esperanza de 𝑋 supera en 1 a su mediana.
2. Si se desprenden cinco gotas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente tres de ellas superen el doble del tamaño mínimo?
3. Si el número de gotas que se desprenden por minuto sigue una distribución de Poisson de parámetro 𝜆, calcule su esperanza, sabiendo que la probabilidad de que caigan cinco gotas en un minuto es la mitad de la probabilidad de que caigan cinco gotas en dos minutos.